引入¶
Topology James R. Munkres 12 13
我们在数学分析当中已经学习过 \(R^n\) 空间中的开集、闭集、连续、收敛等概念。 它们描述了一个基本的问题：哪些点是‘挨着’的、哪些点是不‘挨着’的。
在 \(R^n\) 中我们用欧式距离来度量点的‘远近’； 但我们可以更加抽象的用度量所诱导的 开集 来说明点与点的关系。
当我们描述空间的连续性、点列的收敛性时，忽视空间的度量，只用留下的开集进行描述，似乎并没有什么影响。 因此我们认识到，一个集合内点与点的‘远近’关系是由这些 开集 直接决定的。
当集合只加上这些开集的结构时，我们得到一个最基本的空间结构：拓扑(topology)。
而我们要凭空定义出这样一个拓扑结构，似乎有些不切实际。 所以我们提取 \(R^n\) 空间中的开集的基本结构，对一般的拓扑结构进行定义。
Think
\(R^n\) 中开集最基本的结构是什么（当然空间上的度量已经神奇的消失了）？ 这个过程就像是从几何理论中抽出最基本的几条公理一样，其他任何几何性质都将由这些公理来推出。 你能否给出开集的‘公理’呢？
拓扑空间的定义¶
定义： 集合 \(X\) 上的一个 拓扑 (topology) 是 \(X\) 的子集族 \(\mathscr{T}\) ，\(\mathscr{T}\) 中的元素就是我们需要的 开集。它们满足以下条件：
- \(\varnothing\) 和 \(X\) 在 \(\mathscr{T}\) 中。
- 开集的 任意并 还是开集。
- 开集的 有限交 也是开集。
一个定义了拓扑的集合就叫做 拓扑空间 (topological space)。
自然而然的，开集的补定义为 闭集，且满足：
- \(\varnothing\) 和 \(X\) 都是闭集。
- 闭集的 任意交 还是闭集。
- 闭集的 有限并 也是闭集。
Think
为什么拓扑中的元素可以 任意 并，而交集只能是 有限 的呢？
在 \(R^n\) 中，无限个开集的交可能是闭集，甚至可能是一个点！这直接就破坏了空间的连续性，使得空间中所有点之间都是‘不挨着’的。这就没有意义了。
任何子集都是开集的拓扑称为离散拓扑。
如果有一个\(X\)中的子集，使得拓扑中的开集要么和他不交，要么包含他，那么对于这个子集之外的任何点，在拓扑中看这个子集中的点都没有区别，那么这个子集就可以‘坍缩’成一个点了。
一个集合可以即开又闭吗？
显然 \(\varnothing\) 和 \(X\)是这样的。
拓扑的基¶
我们在数学分析中了解到，想要直接研究 \(R^n\) 中任意的的开集不太容易，但任意开集可以由一族开矩体或开球的并合成。我们可以将能生成任意开集的一族开矩形或开球称作 基。
Think
由于开集的有限交还是开集，那么想要这组基能生成任意开集，那么应当能找到“更小”的开集来生成开集的交。（除非再也没有更小的交集了，这个时候考虑上一节中的‘坍缩’问题，这个拓扑是不是就成了离散拓扑了呢？）因此，我们对于基的定义也会加入这一条略显突兀的性质。
定义： 令 \(X\) 是一个拓扑空间。它的一个 基 (basis) 是一个子集族 \(\mathscr{B}\)(其成员称为 基元素 (basis element))，使得
- \(\cup_{B\in\mathscr{B}}B = X\)，
- 若 \(x\in B_1\cap B_2\) ，则存在 \(B_3\) 满足 \(x\in B_3\subset B_1\cap B_2\)。
并称 \(\mathscr{T}\) 是由 \(\mathscr{B}\) 生成的。