紧性¶

在数学分析中我们学习过 \(R^n\) 空间中的紧性，参考有限覆盖定理。 并且我们在实数轴上证明了以下定理等价：

1. 有界序列必有收敛子列（列紧）。
2. 有限覆盖定理（紧性）。

但对于一般的拓扑空间他们却并 不等价。
原因在于实数空间有着比一般拓扑空间更复杂的结构。 当我们削减空间的结构到拓扑空间，这些性质就分离开了。 成为了我们可以赋予某个空间的‘公理’， 就像我们将过一点只有一条平行线的公理赋予几何空间，它就变成了欧式几何。没有这条就是更一般的非欧几何。

一般定义¶

我们重新在一般的拓扑空间 \( (X, \mathscr{T}) \) 中的集合 \(A\) 定义紧性,

开覆盖：如果一族开集 \(\mathscr{U}\) 满足 \(A \subset \cup_{U \in \mathscr{U}} U\)，则\(\mathscr{U}\) 称为 \(A\) 的 开覆盖

紧致： 如果对 \(A\) 的任何开覆盖 \(\mathscr{U}\)， 都存在有限个 \(\mathscr{U}\) 中的开集 \(U_i, i = 1, 2, \dots, n\)，使得 \(A \subset \cup_{i=1}^n U_i\)，则称 \(A\) 为紧致 ( Compact ) 的。

列紧： 如果 \(A\) 中的任何序列 \(\{x_n\}\), 均存在收敛的子列，那么称 \(A\) 为列紧的。
列紧集又称为 相对紧集。
如果子列的极限都在 \(A\) 中，则称 \(A\) 为 自列紧集。