Convolution 2 卷积 2¶

在认识了 \(L^p\) 空间后，我们进一步认识一下卷积

连续性¶

对于 \(1\le p < \infty\)，如果 \(f\in L^p(\mathbb{R}^n), g\in L^{p'}(\mathbb{R}^n)\)，则 \(f*g\in C(\mathbb{R}^n)\)

proof

其中 \(\tau_{y-x}f(t) = f(t+y-x)\)， \(\tau\) 称为平移算子。

当 \(y-x\to 0\) 时， \(\|f-\tau_{y-x}f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)} \to 0\)，
因此 \(f*g(x)-f*g(y) \to 0\)，那么 \(f*g\in C(\mathbb{R}^n)\)。

我们简要说明为何 \(\|f-\tau_{y-x}f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)} \to 0\)。 这是因为 \(C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) 在 \(L^p(\mathbb{R}^n)\) 中 稠密，
因此对任意的 \(\forall \epsilon>0\) ， 我们可以找到 \(\phi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) 使得 \(\|f-\phi\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)} < \epsilon\). 那么，

所以 \(\|f-\tau_{y-x}f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^n)} \to 0\).

Young 不等式¶

\(f\in L^1(\mathbb{R}^n), g\in L^p(\mathbb{R}^n), 1\le p < \infty\)，则

proof

我们利用 Minkowski 不等式 4

记 \(G_x(y) := f(x)g(y-x)\)，则