Convolution 卷积¶
设 \(f,g\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的可测函数，我们定义他们的卷积为
\[ f*g(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-t)g(t)dt = \int_{\mathbb{R}^n} f(t)g(x-t)dt \]
卷积的理解¶
卷积 Convolution 是什么？
其实我更喜欢他的另一个名字 叠加 Superposition.
参考 奥本海默 信号与系统
\(f*g\) 可以理解为把函数（信号） \(g(x)\) 向右平移 \(t\) 后的 \(f(t)\) 相加。
这个叠加是 线性 的！
卷积的性质¶
有了 线性叠加 的理解，我们能很直观的看到
Part 1:
祖暅原理
\[ \int_{\mathbb{R}^n} f*g(x) dx = \int_{\mathbb{R}^n} f(t) dt \int_{\mathbb{R}^n} g(t)dt \]
Part 2:
\[ D(f*g) = Df * g = f * Dg \]
若 \(g\in C^k(\mathbb{R}^n), f\in L^1(\mathbb{R}^n)\)，则 \(f*g \in C^k(\mathbb{R}^n)\)