逼近 Approximation¶

最近我在用一个广为人知的定理： 内积任何 测试函数 0，则 几乎处处为零 ，但突然发现不知道怎么证了，于是为了证明这个结果，顺便补充这一章。

我们分几步来证明。

1.

首先我们能想到的是

有了这样的引理，我们好像只需要证明，光滑函数能逼近可测集的 特征函数 就好了，但需要一些细节。

2.

证明的核心技术就是 磨光函数 mollifier 。

因为 \(\overline{E} \subset \Omega\)，故存在 \(\epsilon_0 > 0\) ，使得 \(\text{dist}(\overline{E}, \partial\Omega) > 2\epsilon_0\)。
那么令 \(W = \{x: \text{dist}(x, \overline{E}) < \epsilon_0 \}\)，则 \(W\) 是一个开集，且 \(W \subset\subset \Omega\)。

由于 \(E\) 有界，故 \(\int_\Omega \chi_E = \mu(E) < \infty\) 是可积函数。
令 \(\eta(x)\) 是 磨光子 ，\(\eta(x) \in C^\infty_c(\Omega), \text{supp}(\eta) \subset B(0, 1)\) ，令

则 \(\int \eta_\epsilon = 1 \) ，且 \(\text{supp}(\eta_\epsilon) \subset B(0, \epsilon)\)。

对于 \(0 < \epsilon <\epsilon_0\)，令

则 \(\text{supp}(\phi_\epsilon) = \overline{E + B(0, \epsilon)} \subset \overline{W}\) ， 且 \(\phi_\epsilon \in C^\infty_c(\overline{W})\)。

现在我们说明 \(\phi_\epsilon\) 一致有界：

接下来我们说明 当 \(\epsilon \to 0\) ， \(\phi_\epsilon \to \chi_E\) （ Folland Real Analysis Theorem 8.14 ）
记 \(f(x) = \chi_E(x)\)，\(\int |f| = \mu(E) =: M\) 可积，那么

那么

由于 \(\int_{\overline{W}} |f(x-\epsilon z) - f(x)| < 2\int |f| = 2M\)， 则

被 可积函数控制 。
我们又有

（参考 Folland Real Analysis Lemma 8.4 Proposition 8.5 ）
这是因为可积函数可由连续函数逼近。
Folland Real Analysis Theorem 2.26
参考 Folland Real Analysis Proposition 7.9
周民强 实变函数论 定理 4.18 4.19

因此由 控制收敛定理 ，

即

依测度收敛，则由 Riesz 定理 ，存在子列 \(\phi_n\) 几乎处处收敛

且 \(|\phi_\epsilon(x)| \le 1\)。

3.

现在我们证明对任意可测紧子集 \(E \subset\subset \Omega\)，\(\int_E u = 0\)。

设 \(E \subset\subset W \subset\subset \Omega\)，和 \(\phi_n \in C^\infty_c(\Omega), \text{supp}(\phi_n) \subset W, |\phi_n(x)| \le 1\)，是我们在 2 步中获得的。
因为 \(u \in L_{\text{loc}}^1(\Omega)\)，因此 \(\int_{\overline{W}} |u| < \infty\)。

考虑函数族 \( u_n(x) = u(x) \phi_n(x) \)，我们有 \( |u_n(x)| \le |u(x)|\)，被可积函数控制。
又由原命题中 \(u\) 的条件，

而 \(\lim_{n\to\infty} u_n(x) = u(x)\chi_E(x)\)，那么由 控制收敛定理 ，

因此综合 1 ，我们知道 \(u\) 在 \(\Omega\) 上任意可测紧子集上都是 0 。
而 \(\Omega \subseteq R^n\) 是 \(\sigma\)-finite 的，所以 \(u\) 在 \(\Omega\) 上任意可测子集上的积分都是 0 ， 因此 \(u = 0 \; \text{a.e.} \)，证毕。