Sobolev 不等式 \(\mathbf{I}\)¶

查看 Lawrence C.Evans Partial differential equations 5.6,
以及 Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 9.3，
Brezis 书中的内容比较丰富，全面。

我们在这一部分的目标是发现各种Sobolev空间到其他空间的嵌入。
这里的关键分析工具将是某些所谓的 Sobolev 型不等式，我们将在下面对 光滑函数 进行证明。
这将建立任意函数在各种相关 Sobolev 空间中的估计。
因为正如我们在 逼近 中所看到的，光滑函数 是稠密的。

问题¶

为了清楚的表达，我们首先只考虑 Sobolev 空间 \(W^{1, P} ( \Omega )\)， 并提出如下基本问题：
如果一个函数 \(u\) 属于 \(W^{1, P} ( \Omega )\)，那么 \(\Omega\) 是否自动属于某个其他空间?（我们称之为 嵌入 embedded ）

我们在这里应当做出提醒，这些对 \(W^{1,p}(\Omega)\) 建立的不等式，根据 \(\Omega = \mathbb{R}^n\) 还是有界开集的不同而有很大差别。

n=1¶

在对一般的 \(\mathbb{R}^n\) 分析前，我们不妨先研究一下 \(n=1\) 的情况。

参考 Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 8.2 The Soblev Space \(W^{1, p}(I)\) Theorem 8.2

\(u\) 貌似跟 \(\int_0^x Du\) 差不多。其实我们有如下定理

证明

由于 \(v \in L^p(\Omega)\)，那么 \(v \in L_{\text{loc}}^1(\Omega)\)。
我们令

则 \(v(x) \le \int_\Omega |Du|\)，一致有界，故 \(v\in L_{\text{loc}}^1(\Omega)\)。

1.

下面我们证明，对于一个有界区间 \(W \subset \Omega\)， \(v\) 在 \(W\) 上是 绝对连续函数 。

周民强 实变函数论 5.4 绝对函数与微积分基本定理 定理 5.10 ）

这是因为可积函数可被光滑函数逼近，即 \(C_c^\infty(\Omega)\) 在 \(C^p(\Omega), 1\le p < \infty\) 中稠密。
（参考 Folland Real Analysis Proposition 8.17
Lawrence C.Evans Partial differential equations Appendix C.5）

对于 \(\forall \epsilon > 0\)，存在连续函数 \(g \in C_c^\infty(W)\)，使得 \(\int_W |u(x) - g(x)| dx < \epsilon/2\)。
而对于 \(Dg\) 他在紧集上连续，那么他有界，\(g\) 是 Lipschitz 连续的，\( |g(x)-g(y)| \leq L(|x-y|)\)。
因此， 若 \(0<\delta < \dfrac{\epsilon}{2L}, \)，
那么对于任意有限个互不相交的开区间 \((x_i, y_i) \subset W, i=1,2,\cdots,n\) 满足 \(\sum_{i=1}^n (y_i-x_i)<\delta\) 时，有

故 \(v\) 在 \(\Omega\) 的任意有界子集上绝对连续。

那么他 几乎处处可导 。（ 周民强 实变函数论 5.4 绝对函数与微积分基本定理 推论 5.12 ）
那么 \(v' = Du \text{ a.e.}\) （ 周民强 实变函数论 5.3 不定积分的微分 定理 5.7 ）

2.

Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 8.2 The Soblev Space \(W^{1, p}(I)\) Lemma 8.2

我们证明 \(D(u-v) = 0 \text{ a.e.}\)。

我们这里扩大了 \(\phi\) 的选择空间。
对任意的 \(\phi \in C_c^1(\Omega)\)，

那么由 可积函数的 分部积分定理

\(\phi', Du\) 可积，则

因此 \(Du\) 是 \(v\) 的弱导数，那么由于弱导数线性原理 \(D(u-v) = 0 \text{ a.e. }\)
所以 \(v, u-v \in W_{\text{loc}}^{1,p}(\Omega)\)

3.

由于 \(u-v \in W_{\text{loc}}^{1,p}(\Omega)\)， 而 \(D(u-v) = 0 \text{ a.e. }\)，我们希望 \(u = c \text{ a.e. }\)

这里可以使用 局部逼近定理 的 Corollary，但这里给出一个一维的证明。

参考 Hunter Hunter Notes on PDE Proposition 3.6
Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 8.2 The Soblev Space \(W^{1, p}(I)\) Lemma 8.1

那么，由 2 以及 [光滑函数一致逼近连续函数] ，对于任何 \(\phi\in C_c^1(\Omega)\)，

那么存在 \(c\) 使得 \(u-v = c \text{ a.e. }\) ， 即

其中 \( v(x)=c+\int_{x_0}^x Du = c+\int_{x_0}^x v' \text{ a.e. } \)， \(v' = Du \text{ a.e. }, v = u \text{ a.e. } \)，
故 \(v \in W^{1,p}(\Omega)\)。

此后不再区分 \(u, v\)，默认 \(u\) 是连续版本。

直观理解¶

对于一般的 \(\mathbb{R}^n, n\ge 1\)， 对于建立不等式的动机，两本书中都提到了用伸缩变换发现的参数，但这里我们给出另一种直观上的理解。

至此，我们对 \(h\) 的可积性有了直观的把握，而对于任意的 \(u \in W^{1, p} (\mathbb{R}^n)\) 他几乎处处和 \(h\) 差不多。
（甚至沿着 case3 的思想我们可以获得 Morrey 不等式证明的直观理解。）

我们必然将问题分成三种情况来讨论：

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式¶

对于第一种情况，我们先对 \(u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) 进行研究。
若 \(1\le p \le n\)， 我们能否找到特定的 \( (C, q) \) ，使得对于任意的 \(u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) 可以建立这样的一个估计？

定义： 如果 \(1\le p < n\)，那么 \(p\) 的 Sobolev 共轭为

证明:

Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations 9.3 Theorem 9.9

1.
首先考虑 \(p=1\) 的情况，因为 \(u\) 具有紧支集， 对于每个 \(i=1, \cdots, n\) 和 \(x\in \mathbb{R}^n\)，我们有

那么就有

我们意识到上式右侧的结果与 \(x_i\) 的取值无关。 下面考虑

我们想要估计 \(\int_{\mathbb{R}^n}|u|^{\frac{n}{n-1}}\)，那么这里我们就介绍一个重要的不等式

应用引理， 我们有

或者更精细一点 Sobolev空间与偏微分方程引论-王术 2.2.5

后两个不等式是 几何平均 \(\le\) 算术平均 \(\le\) 平方平均。

至此我们得到了

2.
对于 \(1< p < n\)，将 \(|u|\) 替换成 \(|u|^\gamma\) 来进行分析，\(\gamma\) 待定，但是希望 \(\gamma>1\)，这样可以将 \(u\) 和 \(Du\) 用 Hölder 不等式 分离。

这里为了让右面关于 \(u\) 的积分抵消掉，我们令 \(\frac{\gamma n}{n-1}=(\gamma-1)\frac{p}{p-1}\)，即

这时，\(\frac{\gamma n}{n-1}=(\gamma-1)\frac{p}{p-1}=\frac{np}{n-p} = p^*\)，\(\frac{n-1}{n} - \frac{p-1}{p} = \frac{1}{p} - \frac{1}{n} = \frac{1}{p^*}\) 故

即

边界情况 p=n¶

证明:

回到 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式 证明的最后一步

对 \(\gamma > 1\)，

利用 Young 不等式 \(ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}, p, q > 1, 1/p+1/q=1 \) ，可以得到

当 \(p=n\)，上式就成了

令 \(\gamma = n\)， 则

得到 \(W^{1,n}(\mathbb{R}^n) \subset L^{\frac{n^2}{n-1}}(\mathbb{R}^n)\)。

令 \(\gamma = n+1, n+2, \cdots\)，则有

因此，对 \(q=n, n\frac{n}{n-1}, (n+1)\frac{n}{n-1}, \cdots, (n+k)\frac{n}{n-1}, \cdots\)，有

再利用 插值不等式 ，我们得到

Bounded 有界情况¶

对于 \(1\le p\le n\)， 我们已经建立了对 \(u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\) 的估计， 但是我们之前提到过，对于 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 和 \(U\) 的情况是不一样的。
对于有界集，\(u\) 在靠近 \(\partial\Omega\) 的地方不一定是 0，这就意味着 \(|u|\) 不能直接被 \(Du\) 控制。

对于这种情况， 教材 5.6.1 Theorem 2 3 做出了回答。只不过 \(C\) 要依赖于 \(U\)

我们先思考一个简单的情况：

\(W_0^{1, p}(U)\)¶

设 \(U \subset \mathbb{R}^n\) 是有界开集，
对于某个 \(1 \le p < n\)，若 \(u \in W_0^{1, p}(U)\)， 那么我们应当意识到，\(D^\alpha u, |\alpha| \le 1\) 在靠近 \(\partial\Omega\) 的地方为 0，那么 \(u\) 可以直接延拓到 \(\mathbb{R}^n\) 上。

事实上，因为 \(W_0^{1, p}(U)\) 是 \(C_c^\infty(U)\) 的 闭包，所以存在

那么 \(u_m\) 可以延拓到 \(\mathbb{R}^n\) 上，
那么他们在 \(W^{1,p}(\mathbb{R}^n)\) 中的极限显然在 \(U\) 上等于 \(u\)，在 \(U\) 外为 0。
也就是说，\(u\) 可以延拓到 \(\mathbb{R}^n\) 上。

那么根据 GNS 不等式，有

但是，因为 \(U\) 有界 \(|U| < \infty\)，对于 \(q\le p\)，我们有 Hölder 不等式

因此，对于 \(1 \le q\le p^*\)，有

因此对于每个 \(q \in [1, p^*]\)，有

得到

\(W^{1, p}(U)\)¶

现在我们研究更一般的情况，这时 \(u\) 的值可以随意上下移动，因此不能被 \(Du\) 控制。
但如果是 \(Du\) 和 \(u\) 的组合呢？答案是有的

令 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 是有界开集，且 \(\partial U\) 是 \(C^1\) 的，\(1\le p < n\)，\(u\in W^{1,p}(U)\)，则

即

Rellich-Kondrachov Compactness Theorem¶

Lawrence C.Evans Partial differential equations 5.7 COMPACTNESS

对于上面最后一种的某些情况，嵌入不仅是连续的，还是紧的，即
令 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 是有界开集，且 \(\partial U\) 是 \(C^1\) 的，\(1\le p < n\)，\(u\in W^{1,p}(U)\)，则

我们需要使用 [Arzela-Ascoli 紧性定理]。