Poincaré 不等式
Lawrence C.Evans Partial differential equations 5.8.1
我们曾在 GNS 不等式的有界情况 的最后提到过
\(u\) 能否被 \(Du\) 控制与 \(u\) 是否存在等于 0 的部分是有很大区别的。
因此我们建立 Poincaré 不等式就是为了消除 \(u\) 上下平移带来的影响。
记
\[ (u)_U = {-\mkern -19mu\int}_{U} u \]
为 \(u\) 在 \(U\) 上的平均。
Poincare's inequalities
令 \(U \subset \mathbb{R}^n\) 是 有界连通开集 ，\(\partial U\) 是 \(C^1\) 的。
设 \(1 \le p \le \infty\)，那么存在常数 \(C=C(n,p,U)\) 使得对于任何 \(u \in W^{1,p}(U)\)
\[ \|u-(u)_U\|_{L^p(U)} \le C \|Du\|_{L^p(U)} \]
Rellich-Kondrachov Compactness Theorem
Du=0, u=c a.e. Corollary
Problems
Question
固定 \(\alpha>0\)，\(U \subset \mathbb{R}^n\) 是有界 连通 开集，
设 \(1 \le p \le \infty\)，那么存在常数 \(C=C(n,p,U)\) 使得对于任何 \(u \in W^{1,p}(U)\) 且
\[ E_u = \{x\in U | u(x)=0\}, \quad \mu(E_u) \ge \alpha \]
都有
\[ \|u\|_{L^{p}(U)} \le C(n, U, p, \alpha) \|Du\|_{L^{p}(U)} \]
我们证明的技巧与证明 Poincaré 一样，使用反证法。
否则存在 \(k=1, \cdots \)
\[ \|u_k\|_{L^{p}(U)} > k \|Du_k\|_{L^{p}(U)}, \quad \mu(\{x\in U | u(x)=0\}) \ge \alpha \]
令 \(v_k = \frac{u_k}{\|u_k\|_{L^{p}(U)}}\)，则
\[ \|v_k\|_{L^{p}(U)} = 1, \quad \mu(E_{v_k}=\{x\in U | v_k(x)=0\}) \ge \alpha, \quad \|Dv_k\|_{L^{p}(U)} < \frac{1}{k} \]
因此 \(\|v_k\|_{W^{1,p}(U)}\) 有界，
那么由 Rellich-Kondrachov 紧性定理 （这里用到了 \(\partial U\) 是 \(C^1\) 的条件）
\[ W^{1,p}(U) \subset\subset L^p(U) \]
嵌入将有界序列映成相对紧序列，则 \(v_k\) 存在收敛子列
\[ v_{k_j} \to v \in L^p(U), \quad \|v\|_{L^{p}(U)} = 1 \]
但是对于 \(\forall \phi \in C_c^\infty(U)\)，
\[ \int_U v D^\alpha\phi = \lim_{j\to \infty} \int_U v_{k_j} D^\alpha\phi = -\lim_{k_j\to \infty} \int_U D^\alpha v_{k_j}\phi \]
但是由 [Holder 不等式]
\[ \Big|\int_U D^\alpha v_{k_j}\phi \Big| \le \|D^\alpha v_{k_j}\|_{L^p(U)} \|\phi\|_{L^{\frac{p}{p-1}}(U)} < \frac{1}{k_j} \|\phi\|_{L^p(U)} \to 0 \]
所以
\[ Dv = 0 \text{ a.e. in } U \]
那么由 Du=0, u=c a.e. Corollary
\[ v = c \text{ a.e. in } U \]
但是由于
\[ \begin{align} 0 & = \lim_{j\to \infty} \int_U |v_{k_j}-v|^p = \lim_{j\to \infty} \int_U |v_{k_j}-c|^p \\ &\ge \lim_{j\to \infty} \int_{E_{v_{k_j}}} |v_{k_j}-c|^p \\ &\ge \alpha |c|^p \end{align} \]
因此只能 \(c=0\)，那么 \(v=0 \text{ a.e. in } U\)，但是这与 \(\|v\|_{L^p(U)} = 1\) 矛盾!
因此存在这样一个常数 \(C=C(n,U,p,\alpha)\) 使得
\[ \|u\|_{L^{p}(U)} \le C(n, U, p, \alpha) \|Du\|_{L^{p}(U)} \]