Fourier Transform Methods 傅里叶变换方法¶

定义¶

如果 \(u\in L^1(\mathbb{R}^{n})\)，我们定义 Fourier 变换为 \(\mathcal{F}u =\hat{u}\)

\[ \hat{u}(y) := \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^{n}} u(x) e^{-i x \cdot y} dx \quad (y \in \mathbb{R}^{n})\]

Fourier 逆变换 \(\mathcal{F}^{-1}=\check{u} \)

\[ \check{u}(y) := \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^{n}} u(x) e^{i x \cdot y} dx \quad (y \in \mathbb{R}^{n}) \]

Plancherel's Theorem¶

假设 \(u\in L^1(\mathbb{R}^{n})\cap L^2(\mathbb{R}^{n})\).那么 \(\hat{u}, \check{u} \in L^2(\mathbb{R}^{n})\) 且

\[ \|\hat{u}\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} = \|\check{u}\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} = \|u\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \]

Fourier Transform 的性质¶

对于 \(u, v \in L^2(\mathbb{R}^{n})\) 有下面的性质

1 .

\[ \int_{\mathbb{R}^{n}} u\; \bar{v}\; dx = \int_{\mathbb{R}^{n}} \hat{u}\; \bar{\hat{v}}\; dy \]

2 .

\[ u = \mathcal{F}^{-1} \circ \mathcal{F} u = (\hat{u})\check\; \]

3 .

\[ (D^\alpha u)\hat\; = (iy)^\alpha \hat{u} \]

4 . 设 \(u,v\in L^1(\mathbb{R}^{n})\cap L^2(\mathbb{R}^{n})\)，则

\[ (u*v)\hat\; = (2\pi)^{n/2} \hat{u}\hat{v}\]

同理, 若 \(\hat{u},\hat{v}\in L^1(\mathbb{R}^{n})\cap L^2(\mathbb{R}^{n})\)，则

\[ \hat{u}*\hat{v} = (2\pi)^{n/2} \hat{uv} \]

等价性 Equivalence¶

在说明分数阶 Sobolev 范数的合理性之前，我们先观察一些等价性命题。

回忆我们在泛函分析中所学到的，对于一个空间 \(X\) 中的两个范数 \(\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2\)，
如果存在两个与 \(x\) 无关的正实数 \(c, C>0\) 使得

\[ c\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C\|x\|_1 \]

对所有 \(x\in X\)，都成立，那么我们称 \(X\) 中的两个范数是等价的。我们记成 \(\|x\|_1 \sim \|x\|_2\).

回顾 Sobolev 范数的 Remark 中通过 Hölder 不等式指出两种范数的定义等价。

事实上，我们有离散型 Hölder 不等式

\[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \leq (\sum_{i=1}^n |x_i|)^p \leq n^{p-1}(\sum_{i=1}^n |x_i|^p) , \quad p\ge 1\]

这其实意味着

\[ \|x\|_{l_1} \sim \|x\|_{l_p}, x\in \mathbb{R}^n \]

特别的

\[ 1+|y|^s \sim (1+|y|)^s \sim (1+|y|^2)^{s/2} \]

Fractional Sobolev Space 分数阶Sobolev空间¶

设 \(0 < s < \infty\) ， \(u\in L^2(\mathbb{R}^{n})\). 那么当 \((1+|y|^s)\hat{u}\in L^2(\mathbb{R}^{n})\) 时， \(u\in H^s(\mathbb{R}^{n})\) ,并且令

\[ \|u\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} = \|(1+|y|^s)\hat{u}\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} = \left(\int_{\mathbb{R}^{n}} (1+|y|^s)^2\hat{u}^{2}dy\right)^{1/2} \]

Problems¶

20

若 \(u\in H^s(\mathbb{R}^{n})\)，且 \(s > n/2\)，则 \(u\in L^\infty(\mathbb{R}^{n})\)，且

\[ \|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^{n})} \leq C(s,n) \|u\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \]

Remark

回忆 Morry 不等式以及广义 Sobolev 不等式

我们知道，对于 \(k>n/p\)，

\[ W^{k,p}(\mathbb{R}^n) \subset W^{k-1,p^*}(\mathbb{R}^n) \subset \cdots \subset W^{k-l+1,p^{(l-1)}}(\mathbb{R}^n) \subset C^{k-l-1, \gamma}(\mathbb{R}^n) \subset L^\infty(\mathbb{R}^n) \]

这里我们用 Fourier 变换来证明相似的结果。

solution

因为

\[ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^{n}} |\hat{u}(x)| dx &= \int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{1}{1+|y|^s} (1+|y|^s)|\hat{u}(y)| dy \\ &\le \|(1+|y|^s)\hat{u}(y)\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \|\frac{1}{1+|y|^s}\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ \end{aligned} \]

但是

\[ \begin{aligned} \|\frac{1}{1+|y|^s}\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})}^2 % \int_{\mathbb{R}^n}\left(\frac{|e^{-iy \cdot x}|}{1+|y|^s}\right)^2 dy &\le \int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{1+|y|^{2s}} dy \\ &= n\alpha(n)\int_{0}^{\infty} \frac{r^{n-1}}{1+r^{2s}} dr \\ &= \alpha(n) \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^{2s/n}} dt \quad (t=\mathbb{R}^n) \end{aligned}\]

由于 \(2s > n\) 因此

\[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^{2s/n}} dt < 1 + \int_1^\infty \frac{1}{t^{2s/n}} dt = 1 - \frac{1}{1-2s/n} < \infty \]

所以

\[ \|\hat{u}\|_{L^1(\mathbb{R}^{n})} \le C(s,n)\|u\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} < \infty \]

即 \(\hat{u}\in L^1(\mathbb{R}^{n})\). 又因为 \(u\in L^2(\mathbb{R}^{n}) \Rightarrow \hat{u} \in L^2(\mathbb{R}^{n})\)，我们得到

\[ \hat{u} \in L^1(\mathbb{R}^{n}) \cap L^2(\mathbb{R}^{n}) \]

那么，由性质 2 ，我们有 \(u = (\hat{u})\check\;\),

\[ \begin{aligned} |u(x)| &= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \Big|\int_{\mathbb{R}^n} e^{iy \cdot x} \hat{u}(y) dy\Big| \\ &\le \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} |\hat{u}(y)| dy \\ &\le C(s, n)\|u\|_{H^s(\mathbb{R}^n)} \end{aligned} \]

21

考虑 \(u v\in H^s(\mathbb{R}^{n})\)，若 \(s > n/2\)，则 \(uv\in H^s(\mathbb{R}^{n})\)，且

\[ \|uv\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \leq C(s,n) \|u\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \|v\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \]

solution

经过上一题的讨论，由 \(s > n/2\)，我们可以得到 \(\hat{u}, \hat{v}\in L^1(\mathbb{R}^{n})\)，那么由性质 4，

\[ uv = \mathcal{F}^{-1} \circ \mathcal{F} (uv) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}(\hat{u}*\hat{v})\check\; \]

因此

\[ \begin{aligned} \|uv\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} &= \| (1+|y|^s) \;\hat{uv} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ &= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \|(1+|y|^s) \;\hat{u}*\hat{v} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ &= C(n)\| (1+|y|^s) \int_{\mathbb{R}^{n}} \hat{u}(t) \; \hat{v}(y-t)\; dt \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \end{aligned} \]

但是经过我们在等价性中的讨论

\[ |y|^s = |t + y-t|^s \leq (|t| + |y-t|)^s \sim |t|^s + |y-t|^s \]

那么

\[ \begin{aligned} \|uv\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} &= C(n) \| \int_{\mathbb{R}^{n}} (1+|y|^s) \; \hat{u}(t) \; \hat{v}(y-t)\; dt \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ &\le C(s, n) \| \int_{\mathbb{R}^{n}} (1+|t|^s + 1+|y-t|^s) \; \hat{u}(t) \; \hat{v}(y-t)\; dt \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ &\le C(s, n) ( \| ((1+|y|^s) \; \hat{u}) * \hat{v} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} + \| \hat{u} * ((1+|y|^s) \; \hat{v}) \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} ) \\ \end{aligned} \]

现在我们由 Young 不等式

\[ \|f*g\|_{L^p} \le \|f\|_{L^1} \|g\|_{L^p} \]

我们得到

\[ \begin{aligned} \| ((1+|y|^s) \; \hat{u}) * \hat{v} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} &\le \| (1+|y|^s) \; \hat{u} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \| \hat{v} \|_{L^1(\mathbb{R}^{n})} \\ &= \| (1+|y|^s) \; \hat{u} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{1}{1+|y|^s} (1+|y|^s)\hat{v}dy \\ &\le \| (1+|y|^s) \; \hat{u} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})}\| (1+|y|^s) \; \hat{v} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \| \frac{1}{1+|y|^s} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ &\le C(s, n) \| (1+|y|^s) \; \hat{u} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \| (1+|y|^s) \; \hat{v} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})} \\ &= C(s, n) \|u\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \|v\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \\ \end{aligned} \]

其最后一步使用了当 \(s > n/2\) 时，

\[ \| \frac{1}{1+|y|^s} \|_{L^2(\mathbb{R}^{n})}^2 = \int_{\mathbb{R}^{n}} \left(\frac{1}{1+|y|^s}\right)^2 dy \le \int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{1}{1+|y|^{2s}} dy = C(s,n) < \infty \]

在上题 20 中已经证明过了。

因此，我们证明了

\[ \|uv\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \leq C(s,n) \|u\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \|v\|_{H^s(\mathbb{R}^{n})} \]