Extensions 延拓¶
Extension Theorem 延拓定理¶
设\(U\) 有界且 \(\partial U\) 是 \(C^1\) 连续的。 选取一个有界开集 \(V\) 使得 \(U\subset\subset V\)。 那么存在 延拓算子
\[ E : W^{1,p}(U) \to W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \]
是有界线性算子，对 \(\forall u\in W^{1,p}(U)\) 满足
1 .
\[ Eu = u \text{ a.e. in } U \]
2 .
\[ \text{supp}(Eu) \subset V \]
3 . 存在常数 \(C=C(n,U,V,p)\)，使得
\[ \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^n)} \leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)} \]
Trace 迹算子¶
Trace Theorem 迹定理¶
假设 \(U\) 有界且 \(\partial U\) 是 \(C^1\) 连续的。那么存在 迹算子
\[ T: W^{1,p}(U) \to L^p(\partial U) \]
是有界线性算子，满足
1 . 对于 \(u\in W^{1,p}(U)\cap C(\bar{U})\)，有 \(Tu = u|_{\partial U}\).
2 . 存在常数 \(C=C(n,U,p)\) 使得
\[ \|Tu\|_{L^p(\partial U)} \leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)} , \quad \forall u\in W^{1,p}(U) \]
我们称 \(Tu\) 为 \(u\) 在 \(\partial U\) 上的 迹 trace 。
Trace-zero functions 迹零函数¶
设 \(U\) 有界且 \(\partial U\) 是 \(C^1\) 连续的。那么对于 \(u\in W^{1,p}(U)\)，
\[ Tu = 0 \text{ on } \partial U \Leftrightarrow u\in W_0^{1,p}(U) \]