Sobolev 空间的定义
前面我们定义了弱导数，现在我们定义 Sobolev 空间。
定义 Defination
给定 \(1 \le p \le \infty\)，则 Sobolev 空间 \(W^{k, p}(\Omega)\) 定义为
对于所有多重指标 \(\alpha, |\alpha| \le k\)，存在弱偏导数 \(D^\alpha u\)，且 \(D^\alpha u \in L^p(\Omega)\)
的所有局部可积函数构成的集合。即
\[ W^{k, p}(\Omega) = \{ u \in L_{\text{loc}}^1(\Omega) : D^\alpha u \in L^p(\Omega) \text{ for all } |\alpha| \le k \} \]
弱导数的性质
我们需要先说明一些弱导数的性质，对于 \(u, v \in W^{k,p}(\Omega)\)
(i)
\[ D^\alpha D^\beta u = D^{\alpha+\beta} u, \quad |\alpha|+|\beta| \le k \]
(ii)
\[ D^\alpha (\lambda u + \mu v) = \lambda D^\alpha u + \mu D^\alpha v , |\alpha| \le k \]
(iii)
Leibniz's 公式
若 \(\zeta \in C_c^\infty(\Omega)\)，则 \(\zeta u \in W^{k, p}(\Omega)\) 且
\[ D^\alpha (\zeta u) = \sum_{\beta \le \alpha} \binom{\alpha}{\beta} D^\beta \zeta D^{\alpha-\beta} u \]
范数 Norm
如果 \(u \in W^{k, p}(\Omega)\)，我们定义他的 范数 为
\[ \|u\|_{W^{k, p}(\Omega)} = \begin{cases} \left( \sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega |D^\alpha u|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} & 1 \le p < \infty \\ \sum_{|\alpha| \le k} \text{ess sup}_{\Omega} |D^\alpha u| & p = \infty \end{cases} \]
我们说明 \(\|\cdot\|_{W^{k, p}(\Omega)}\) 是一个范数，即满足
1 . 正定性：
\(\|u\|_{W^{k, p}(\Omega)} \ge 0\)，且 \(\|u\|_{W^{k, p}(\Omega)} = 0 \Leftrightarrow u = 0 \text{ a.e.}\)，这是显然的，因为 \(0 = \|u\|_{W^{k, p}(\Omega)} \ge \|u\|_{L^p(\Omega)} \Rightarrow u = 0 \text{ a.e.}\)
2 . 齐次性：
\(\|\lambda u\|_{W^{k, p}(\Omega)} = |\lambda| \|u\|_{W^{k, p}(\Omega)} \quad \forall \lambda \in R\)
3 . 三角不等式：
对于 \(1 \le p<\infty\)，以及 \(u, v \in W^{k, p}(\Omega)\)，可以得到
\[ \begin{align} \|u + v\|_{W^{k, p}(\Omega)} &= \left( \sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega |D^\alpha (u + v)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\le \left( \sum_{|\alpha|\le k} \left(\|D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)} + \|D^\alpha v\|_{L^p(\Omega)}\right)^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\le \left( \sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega |D^\alpha u|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} + \left( \sum_{|\alpha|\le k}\int_\Omega |D^\alpha v|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= \|u\|_{W^{k, p}(\Omega)} + \|v\|_{W^{k, p}(\Omega)} \end{align} \]
第一个不等号使用了 Minkowski 不等式
\[ \|D^\alpha u + D^\alpha v\|_{L^p(\Omega)} \le \|D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)} + \|D^\alpha v\|_{L^p(\Omega)} \]
第二个不等号使用了离散形式的 Minkowski 不等式
\[ \left(\sum_{i=1}^{n} |a_k + b_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} \le \left(\sum_{i=1}^{n} |a_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^{n} |b_k|^p\right)^{\frac{1}{p}} \]
Example
令 \(\{r_k\}_{k=1}^\infty\) 是 \(U=B^0(0, 1)\) 的可数稠密子集。
\[ u(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha} \quad x\in U\]
那么对于 \(\alpha <\frac{n-p}{p}\)， \(u\in W^{1,p}(U) \).
如果 \(0< \alpha <\frac{n-p}{p}\)， \(u\in W^{1,p}(U) \) 但在每个开子集上都是无界的。
证明
令
\[ u_m(x) = \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha} \]
是非负渐升可测函数列，
1.
那么由 [Beppo-Levi 渐升定理]
\[ \begin{align} \int_U |u(x)|^p dx &= \int_U \lim_{m\to \infty} |u_m(x)|^p dx \\ &= \lim_{m\to \infty} \int_U \left( \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha} \right)^p dx \\ \end{align} \]
然而由 Hölder 不等式，我们得到
\[ \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha} \le \left(\sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} \right)^{\frac{p-1}{p}}\left( \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha p} \right)^{\frac{1}{p}} \le \left( \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha p} \right)^{\frac{1}{p}} \]
所以
\[ \begin{align} \int_U \left( \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha} \right)^p dx &\le \int_U \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha p} dx \\ &= \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{2^k} \int_{B^0(0, 1)} |x -r_k|^{-\alpha p} dx \\ &\le \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{2^k} \int_{B^0(r_k, 2)} |x -r_k|^{-\alpha p} dx \qquad (B(0, 1)\subset B(r_k, 2)) \\ &= \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{2^k} \int_{B^0(0, 2)} |x|^{-\alpha p} dx \\ &\le \int_0^2 \int_{\partial B(0, r)} r^{-\alpha p} dS dr = n\alpha(n) \int_0^2 r^{-\alpha p}r^{n-1} dr \\ &= n\alpha(n) \int_0^2 r^{n-\alpha p-1} dr \end{align} \]
其中 \(\alpha(n)\) 是 \(n\) 维单位球的体积，\(n\alpha(n)\) 等于 \(n\) 维单位球的表面积。
当 \(\alpha < \frac{n-p}{p} < \frac{n}{p}\) 时，\(n-\alpha p > 0\)
\[ \int_0^2 r^{n-\alpha p-1} dr = r^{n-\alpha p} \Big|_0^2 = 2^{n-\alpha p} < \infty \]
这意味着
\[ \int_U |u(x)|^p dx = \lim_{m\to \infty} \int_U |u_m(x)|^p dx \le \lim_{m\to \infty} n\alpha(n) 2^{n-\alpha p} = n\alpha(n) 2^{n-\alpha p} < \infty \]
因此 \(u \in L^p(U)\).
在上面的证明过程中，我们实际上证明了 \(u_m \in L^p(U)\)，
\[ |u_m(x)| < |u(x)| \Rightarrow |u_m(x)-u(x)| \le 2|u(x)| \]
但是 \(u \in L^p(U)\)
那么由 [控制收敛定理]
\[ \lim_{m\to \infty} \|u_m - u\|_{L^p(U)} \to 0 \]
2.
（在这里我们使用 \(\nabla f\)，表示函数的梯度， \(Df\) 则表示弱导数。）
对于 \(f = |x|^{-\alpha}\)，我们有
\[ \nabla f = -\alpha |x|^{-\alpha-2} x \]
我们希望证明 \(Df = \nabla f \quad \text{a.e.}\)
事实上，对于 \(\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)\)，
\[ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \nabla \phi &= \int_{B(0, \epsilon)} |x|^{-\alpha} \nabla \phi(x)dx + \int_{B(0, \epsilon)^c} |x|^{-\alpha} \nabla \phi(x)dx \\ &= I_1 + I_2 \end{align} \]
由于 \(\nabla \phi(x)\) 有界，故
\[ \begin{align} I_1 &\le C(\phi)\int_{B(0, \epsilon)} |x|^{-\alpha} dx \\ &= C(\phi)\int_0^\epsilon \int_{\partial B(0, r)} r^{-\alpha} dS dr \\ &= C(\phi, n)\int_0^\epsilon r^{n-\alpha-1} dr \quad (\alpha =\frac{n}{p} -1 < n) \\ &= C \epsilon^{n-\alpha} \to 0 \quad \text{as } \epsilon \to 0 \end{align} \]
而由 [Gauss-Green 公式]
\[ \begin{align} I_2 &= \int_{B(0, \epsilon)} |x|^{-\alpha} \nabla \phi(x)dx \\ &= \int_{\partial B(0, \epsilon)} |x|^{-\alpha} \phi(x) \nu dS - \int_{B(0, \epsilon)} \phi(x) \nabla |x|^{-\alpha} x dx \\ \end{align} \]
但是，由于 \(\phi\) 有界，所以
\[ \begin{align} \int_{\partial B(0, \epsilon)} |x|^{-\alpha} \phi(x) \nu dS &\le C(\phi) \int_{\partial B(0, \epsilon)} |x|^{-\alpha} dS \\ &= C(\phi) n\alpha(n) \epsilon^{-\alpha} \epsilon^{n-1} \\ &= C(\phi, n) \epsilon^{n-\alpha-1} \to 0 \quad \text{as } \epsilon \to 0 \quad (\alpha =\frac{n}{p} -1 < n -1) \end{align} \]
因此当 \(\epsilon \to 0\) 时，有
\[ \int_{\mathbb{R}^n} |x|^{-\alpha} \nabla \phi(x)dx = - \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) \nabla |x|^{-\alpha} x dx = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x)\alpha |x|^{-\alpha-2} x\]
因此 \(Df = \nabla f\) a.e.
3.
对于
\[ u_m(x) = \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-\alpha} \]
由 2 ,对于 \(|\alpha|=1\)
\[ \begin{align} D^\alpha u_m(x) &= \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} D^\alpha |x -r_k|^{-\alpha} \le \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} |\nabla |x -r_k|^{-\alpha} | \\ &= \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} \Big|\frac{1}{|x -r_k|^{\alpha+1}} \frac{x-r_k}{|x -r_k|} \Big| \\ &\le \sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k} \frac{1}{|x -r_k|^{\alpha+1}} \end{align} \]
几乎重复 1 中的过程，但这次我们证明 \(D^\alpha u_m\) 是 \(L^p(U)\) 中的 Cauchy 列。
\[ \begin{align} \int_U |D^\alpha u_m(x) - D^\alpha u_n(x)|^p dx & \le \int_U \left( \sum_{k=m}^n \frac{1}{2^k} \frac{1}{|x -r_k|^{\alpha+1}} \right)^p dx \\ &\le \left(\sum_{k=m}^n \frac{1}{2^k} \right)^{p-1} \int_U \sum_{k=m}^n \frac{1}{2^k} |x -r_k|^{-(\alpha+1) p} \\ &\le \frac{1}{2^{(m-1)(p-1)}} \sum_{k=m}^n \frac{1}{2^k} \int_U |x -r_k|^{-(\alpha+1) p} dx \\ &\le \sum_{k=m}^n \frac{1}{2^k} \int_{B(0, 2)} |x|^{-(\alpha+1) p} dx \\ &= n\alpha(n) \frac{1}{2^{m-1}} \int_0^2 r^{-(\alpha+1) p} r^{n-1} dx \\ &= n\alpha(n) \frac{1}{2^{m-1}} \int_0^2 r^{n-(\alpha+1) p-1} dr \end{align} \]
又因为 \((\alpha+1)p < \frac{n}{p} p = n\)，所以
\[ \int_0^2 r^{n-(\alpha+1) p-1} dr = 2^{n-(\alpha+1) p} < \infty \]
故
\[ \int_U |D^\alpha u_m(x) - D^\alpha u_n(x)|^p dx < \frac{1}{2^{m-1}} C(n, \alpha, p) \to 0 \quad \text{as } m,n \to \infty \]
因此 \(D^\alpha u_m\) 是 \(L^p(U)\) 中的 Cauchy 列，存在极限 \(v \in L^p(U)\)。
那么对于任意的 \(\forall \phi \in C_c^\infty(U)\)，由于 引理
\[ \begin{align} \int_U u(x) D^\alpha \phi(x) dx &= \lim_{m\to \infty} \int_U u_m(x) D^\alpha \phi(x) dx \\ &= \lim_{m\to \infty} -\int_U D^\alpha u_m(x) \phi(x) dx \\ &= -\int_U v \phi(x) dx \end{align} \]
所以 \(D^\alpha u = v(x) \quad \text{a.e.}\)
因此 \(u \in W^{1, p}(U)\).
如果 \(\alpha > 0\)，那么 \(|x-r_k|^{-\alpha} \to \infty \; \text{ as } x \to r_k \)， 而对于 \(U\) 中的任意开集 \(V\)，由于 \(\{r_k\}_{k=1}^\infty\) 是稠密的，必然存在 \(r_j \in V\)， 那么 \(|x-r_j|^{-\alpha}\) 在 \(V\) 无界，则 \(u(x) > \frac{1}{2^j}|x-r_j|^{-\alpha}\) 也是无界的。
从上面这个例子我们把握到了如何证明 \(W^{1,p}(U)\) 的完备性，自然的我们试图证明 \(W^{k,p}(\Omega)\) 的完备性。
Completeness 完备性
对于 \(1\le p \le \infty\)，Sobolev 空间 \(W^{k,p}(\Omega)\) 是 Banach 空间
证明
设 \(\{u_m\}_{m=1}^\infty\) 是 \(W^{k,p}(\Omega), 1\le p < \infty\) 中的Cauchy列，
那么根据范数定义
\[ \|u\|_{W^{k,p}(\Omega)} = \left( \sum_{|\alpha| \le k} \|D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}^p \right)^{\frac{1}{p}} \ge \|D^\beta u\|_{L^p(\Omega)} \quad \forall |\beta| \le k \]
函数列 \(\{D^\alpha u_m\}_{m=1}^\infty, |\alpha| \le k\) 显然也是 \(L^p(\Omega)\) 中的 Cauchy 列。
那么设
\[ D^\alpha u_m \to u_\alpha \text{ in } L^p(\Omega), \quad |\alpha| \le k \]
特别的 \(u_m \to u \text{ in } L^p(\Omega)\)。
对于任意的 \(\phi \in C_c^\infty(\Omega)\)，
\[ \begin{align} \int_\Omega u D^\alpha \phi dx &= \lim_{m\to \infty} \int_\Omega u_m D^\alpha\phi dx \\ &= \lim_{m\to \infty} (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega D^\alpha u_m \phi dx \\ &= (-1)^{|\alpha|} \int_\Omega u_\alpha \phi dx \end{align} \]
因此 \(u_\alpha = D^\alpha u \text{ a.e.}\)， \(u \in W^{k,p}(\Omega)\)，
\[ u_m \to u \text{ in } W^{k,p}(\Omega) \]
\(W^{k,p}(\Omega)\) 完备，是 Banach 空间。
Lemma
Strong2Weak Convergence
事实上，我们那这里极限和积分交换了次序
\[ \int_\Omega u \psi dx = \int_\Omega \lim_{m\to \infty} u_m \psi dx = \lim_{m\to \infty} \int_\Omega u_m \psi dx \]
这是因为
\[ \int_\Omega |u - u_m| \psi dx \le \|u-u_m\|_{L^p}\|\psi\|_{L^{p^*}} , \text{ where } \frac{1}{p^*} + \frac{1}{p} = 1 \]
当然用 泛函分析 的语言可以描述为，强收敛 \(\Rightarrow\) 弱收敛
特别的，对于 \(p=\infty\)，
\[ \|u\|_{W^{k,\infty}(\Omega)} = \sum_{|\alpha| \le k} \|D^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)} \]
证明过程类似，只不过在 引理 中不等式变成
\[ \int_\Omega |u - u_m| \psi dx \le \|u-u_m\|_{L^\infty}\|\psi\|_{L^{1}} \]