Weak Solutions 弱解
我们先研究散度形式的解。
设 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的 有界开集 ，\(u: \bar{U} \to \mathbb{R}\) 是未知函数。 这里 \(f:U \to \mathbb{R}\) 是给定函数。 我们研究边值问题。
\[ \begin{cases} Lu=f & \text{in } U \\ u=0 & \text{on } \partial U \end{cases} \]
其中 \(L\) 代表偏微分算子，具有下面的 散度形式 divergence form 。
\[ Lu = -\sum_{i,j=1}^n \partial_j(a^{ij}(x)\partial_i u) + \sum_{i=1}^n b^i(x) \partial_i u + c(x) u \]
且 \(L\) 是满足对称性条件 \(a^{ij}(x) = a^{ji}(x)\) 和 一致椭圆条件
\[ \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x) \xi_i\xi_j \ge \theta |\xi|^2 \quad \text{for a.e.} x \in U, \forall \xi \in \mathbb{R}^n \]
我们下面将假设
\(a^{ij}, b^i, c \in L^\infty(U) \quad (i,j=1,2,...,n)\) 以及 (f\in L^2(U))
Motivation 动机
方程两边对一个测试函数 \(v\in C_c^\infty(U)\) 做内积
\[ \begin{aligned} \int_U fv dx &= \int_U-\sum_{i,j=1}^n \partial_j(a^{ij}(x)\partial_i u) v + \sum_{i=1}^n b^i(x) \partial_i u v + c(x) u v \; dx \\ &= \int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x)\partial_i v\partial_j v + \sum_{i=1}^n b^i(x)\partial_i v + c(x)v\\ \end{aligned} \]
第二个等式使用了分部积分 (Gauss-Green 公式) 。由于在 \(\partial U\) 上 \(v = 0\)，所以没有边界项。
根据逼近定理我们可以将 \(v\) 的空间替换成 \(v\in H^1_0(U)\)，那么最后的恒等式只有当 \(u\in H^1_0(U)\) 时才有意义。 而当 \(u\in H^1_0(U)\) 时，有 \(u=0 \text{ on } \partial U\).
Definations 定义
关于散度形式的椭圆算子，我们定义 双线性形式 \(B[\;,\;]\)为
\[ B[u,v] := \int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij} \partial_i u\partial_j v + \sum_{i=1}^n b^i\partial_i u + c u v \; dx \]
其中 \(u,v\in H^1_0(U)\).
Weak Solution 弱解
如果 \(u\in H^1_0(U)\) 满足
\[ B[u,v] = (f, v) \triangleq \int_U fv \; dx \quad \forall v\in H_0^1(U) \]
我们称 \(u\) 是边值问题的一个 弱解。
等式有时称为边值问题的 变分形式 variational formulation 。
下面我们研究弱解的存在性。
Lax-Milgram Theorem 拉西-米格朗定理
设 \(H\) 是一个 Hilbert 空间，
\[ B: H \times H \to \mathbb{R} \]
是一个 双线性映射 bilinear mapping ，且存在常数 \(\alpha, \beta > 0\) 使得
\[ |B[u,v]| \le \alpha \|u\| \|v\| \quad \forall u,v \in H \]
以及
\[ \beta \|u\|^2 \le B[u,u] \quad \forall u \in H \]
最后令 \(f: H \to \mathbb{R}\) 是一个 \(H\) 上的有界线性泛函。
那么存在唯一的 \(u\in H\) 使得
\[ B[u,v] = \langle f,v \rangle \quad \forall v \in H \]
Problems
2
设 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 是有界开集，\(\partial U\) 光滑， \(a^{ij}, b^i, c \in L^\infty(U)\) 光滑，且 \(L\) 一致椭圆。 令
\[ Lu = -\sum_{i,j=1}^n \partial_j(a^{ij}(x)\partial_i u) + c(x) u \]
证明存在常数 \(\mu>0\) 使得在 \(c(x)\ge -\mu\) 的条件下，相应的 \(B[\;,\;]\) 满足 Lax-Milgram 定理的假设条件， 即存在常数 \(\alpha, \beta > 0\) 使得对 \(u,v\in H_0^1(U)\) 满足
\[ \begin{gather*} |B[u,v]| \le \alpha \|u\| \|v\| \\ \beta \|u\|^2 \le B[u,u] \end{gather*} \]
proof
对于 \(u,v\in H_0^1(U)\)
1
\[ \begin{aligned} |B[u,v]| &\le \|a^{ij}\|_{L^\infty} \int_U \sum_{i,j=1}^n |\partial_i u| \; |\partial_j v| + \|c\|_{L^2} \int_U |u||v| \; dx \\ &\le C(n, a^{ij}, c) \left(\sum_{i=1}^n \|D_i u\|_{L^2} \sum_{i=1}^n \|D_i v\|_{L^2} + \|u\|_{L^2} \|v\|_{L^2} \right) \quad \text{by Hölder}\\ &\le C(n, a^{ij}, c) \left(\sum_{i=1}^n \|D_i u\|_{L^2} + \|u\|_{L^2} \right)\left(\sum_{i=1}^n \|D_i u\|_{L^2} + \|u\|_{L^2} \right) \\ &\le C(n, a^{ij}, c) \|u\|_{H_0^1} \|v\|_{H_0^1} \end{aligned} \]
2
由一致椭圆性条件
\[ \begin{aligned} B[u,u] &= \int_U \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x)\partial_i u\partial_j u + c(x) u^2 \; dx\\ &\ge \theta \|Du\|_{L^2}^2 + \int_U c(x) u^2 dx \\ \end{aligned} \]
我们知道
\[ \|u\|_{H_0^1}^2 = \|u\|_{L^2}^2 + \|Du\|_{L^2}^2 \]
以及 Poincaré 不等式 Corrollary ：
\(U\) 是有界开集，则
\[ \|u\|_{L^2(U)} \le C'(U)\|Du\|_{L^2(U)} \]
我们可以得到
\[ \begin{aligned} B[u,u] &\ge \theta \|Du\|_{L^2}^2 - \mu \|u\|_{L^2}^2 \\ &= \beta\|u\|_{H_0^1}^2 + (\theta-\beta) \|Du\|_{L^2}^2 - (\mu+\beta) \|u\|_{L^2}^2 \\ &\ge \beta\|u\|_{H_0^1}^2 + (\theta-\beta - (C'(U))^2(\mu+\beta)) \|Du\|_{L^2}^2 \end{aligned} \]
我们令 \(\mu=\beta=\dfrac{\theta}{ 1+ 2(C'(U))^2}\) 即可得到 \(B[u,u] \ge \beta\|u\|_{H_0^1}^2\)
总结可得 Lax-Milgram 定理的假设条件。
3
设 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 有界开集， 对于 双调和方程 biharmonic equation 的如下边值问题：
\[ \begin{cases} \Delta^2 u = f & \text{in } U \\ u=\frac{\partial u}{\partial \nu}{} = 0 & \text{on } \partial U \end{cases} \]
若函数 \(u\in H_0^2(U)\) 满足
\[ \int_U \Delta u \Delta v \; dx = \int_U fv \; dx \quad \forall v\in H_0^2(U) \]
则称 \(u\) 是问题的弱解。
给定 \(f\in L^2(U)\)， 证明问题存在唯一弱解。
proof
我们仿照二阶椭圆方程的方法，利用 Lax-Milgram 定理来证明。
令
\[ B[u,v] = \int_U \Delta u \Delta v \; dx \quad u,v\in H_0^2(U) \]
我们验证 Lax-Milgram 定理的假设条件。
1
\[ \begin{aligned} |B[u,v]| &\le \int_U |\Delta u| |\Delta v| \; dx \\ &\le \|\Delta u\|_{L^2} \|\Delta v\|_{L^2} \\ &\le n\|u\|_{H_0^2} \|v\|_{H_0^2} \end{aligned} \]
最后一步是因为
\[ \begin{aligned} \|\Delta u\|_{L^2}^2 &= \int_U |\Delta u|^2 \; dx = \int_U |\sum_{i=1}^n D_{ii} u|^2 \; dx \\ &\le \int_U n \sum_{i=1}^n| D_{ii} u|^2 \; dx \quad \text{by Cauchy} \\ &\le n \sum_{|\alpha|=2} \int_U |D^{\alpha} u|^2 \; dx \le n \|u\|_{H_0^2}^2 \end{aligned} \]
2
\[ \begin{aligned} B[u,u] &= \int_U |\Delta u|^2 \; dx = \|\Delta u\|_{L^2}^2 \\ \end{aligned} \]
我们试图构建不等式
\[ \beta \|u\|_{H_0^2}^2 \le \|\Delta u\|_{L^2}^2 \]
Lemma
对于 \(u\in H_0^2(U)\)， 存在一个常数 \(C=C(n,U)\) 使得
\[ \|u\|_{H_0^2} \le C \|\Delta u\|_{L^2} \]
我们先证明当 \(u\in C_c^\infty(U)\) 时成立，再由稠密性得到对 \(H_0^1(U)\) 成立。
当 \(u\in C_c^\infty(U)\) 时
\[ \|\Delta u \|_{L^2}^2 = \sum_{i,j=1}^n \int_U |\partial_i^2 u|^2 \; dx \]
但是注意到 由 Gauss-Green 公式
\[ \int_U \partial_i^2 u \partial_j^2 u = -\int_U \partial_i u \; \partial_i \partial_j^2 u = \int_U \partial_{ij} u \; \partial_{ij} u \]
所以
\[ \begin{aligned} \|\Delta u \|_{L^2}^2 &= \int_U |\Delta u|^2 \; dx = \int_U \sum_{i,j=1}^n \partial_i^2 u \partial_j^2 u \; dx \\ &= \sum_{i,j=1}^n \int_U |\partial_{ij}u|^2 \; dx = \| \nabla^2 u\|_{L^2}^2 \\ \end{aligned} \]
事实上由于 \(u\in H_0^2(U) \subset H_0^1(U), \nabla u \in H_0^1(U), i=1, \cdots, n\)， 那么根据 Poincaré 不等式 Corrollary ，我们有
\[ \begin{gather*} \|u\|_{L^2}^2 \le C_1(n, U)\|\nabla u\|_{L^2}^2 = C_1(n, U)\|Du\|_{L^2}^2 \\ \|\nabla u\|_{L^2}^2 \le C_2(n, U)\|\nabla^2 u\|_{L^2}^2 = C_2(n, U) \sum_{|\alpha|=2} \int_U |D^\alpha u|^2 \; dx \\ \end{gather*} \]
因此
\[ \begin{aligned} \|u\|_{H_0^2}^2 &= \|u\|_{L^2}^2 + \|\nabla u\|_{L^2}^2 + \|\nabla^2 u\|_{L^2}^2 \le C(n, U) \|\nabla^2 u\|_{L^2}^2 \end{aligned} \]
所以我们有了
\[ \|u\|_{H_0^2} \le C(n, U) \|\Delta u\|_{L^2} \]
而对于任意 \(u\in H_0^2(U)\)，存在 \(u_m \in C_c^\infty(U), \|u_m-u\|_{H_0^2} \to 0\)，那么
\[ \|\Delta u_m-\Delta u\|_{L^2} \le \|u_m-u\|_{H_0^2} \to 0 \]
因此
\[ \|u_m\|_{H_0^2} \to \|u\|_{H_0^2}, \quad \|\Delta u_m\|_{L^2} \to \|\Delta u\|_{L^2} \]
不等式两边取极限得到
\[ \|u\|_{H_0^2} \le C(n, U) \|\Delta u\|_{L^2} \quad \forall u\in H_0^2(U) \]
因此，存在 \(\beta>0\) 使得
\[ B[u,u] \ge \beta \|u\|_{H_0^2}^2 \]
至此，我们证明了 \(B[\;, \;]\) 满足 Lax-Milgram 定理的假设条件。
又因为 \(f\in L^2(U)\)，所以
\[ \langle F, v \rangle \triangleq \int_U fv \; dx \le \|f\|_{L^2} \|v\|_{L^2} \le \|f\|_{L^2} \|v\|_{H_0^2} \]
\(F\) 是有界线性泛函。 那么由 Lax-Milgram 定理，存在唯一的 \(u\in H_0^2(U)\) 使得
\[ \int_U \Delta u \Delta v \; dx = B[u, v] = \int_U fv \; dx \quad \forall v\in H_0^2(U) \]
4
设 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 是 连通有界 开集，\(\partial U\) 光滑。
Neumann 问题：
\[ \begin{cases} -\Delta u = f & \text{in } U \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{on } \partial U \end{cases} \]
若函数 \(u\in H^1(U)\) 满足
\[ \int_U Du \cdot Dv \; dx = \int_U fv \; dx \quad \forall v\in H^1(U) \]
则称 \(u\) 是 Neumann 问题的一个弱解。
设 \(f\in L^2(U)\)，证明弱解存在当且仅当
\[ \int_U f \; dx = 0 \]
proof
必要性显然，我们证明充分性。
令
\[ H_\sigma^1 = \{u\in H^1(U): \int_U u \; dx = 0 \} \]
则 \(H_\sigma^1\) 是一个 Hilbert 空间。实际上它是 \(H^1(U)\) 的闭子空间，他的闭性由
\[ |\int_U f-\int_U g| \le \|f-g\|_{L^1} \le |U|^{1/2}\|f-g\|_{L^2} \]
保证。而且 \(\|u\|_{H_\sigma^1} = \|u\|_{H^1}\).
现在我们构造 \(H_\sigma^1\) 中的双线性映射。
\[ B[u,v] = \int_U Du \cdot Dv \; dx \quad u,v \in H_\sigma^1 \]
我们验证 Lax-Milgram 定理的假设条件。
1
\[ \begin{aligned} |B[u,v]| &\le \int_U |Du| |Dv| \; dx \le \|Du\|_{L^2} \|Dv\|_{L^2} \le \|u\|_{H_\sigma^1} \|v\|_{H_\sigma^1} \end{aligned} \]
2
\[ B[u,u] = \int_U |Du|^2 \; dx = \|Du\|_{L^2}^2 \]
但是由 Poincaré 不等式 ，我们有
\[ \|u\|_{L^2} = \|u-(u)_U\|_{L^2} \le C(n,U) \|Du\|_{L^2} \]
因此存在 \(\beta = \frac{1}{C(n,U)^2} > 0\) 使得
\[ \beta \|u\|_{H_\sigma^1}^2 \le B[u,u] \]
因此 \(B[\;, \;]\) 满足 Lax-Milgram 定理的假设条件。
同样的，我们令
\[ \langle F, v \rangle \triangleq \int_U fv \; dx \le \|f\|_{L^2} \|v\|_{L^2} \le \|f\|_{L^2} \|v\|_{H_\sigma^1} \]
因此对于任意的 \(v\in H^1(U)\)，令 \(\tilde{v} = v - (v)_U \in H_\sigma^1\)， \((v)_U\int_U f=0\).
存在唯一的 \(u\in H_\sigma^1\) 使得
\[ B[u, \tilde{v}] = \langle F, \tilde{v} \rangle = \int_U f\tilde{v} \; dx = \int_U fv \; dx \]
而
\[ B[u, \tilde{v}] = \int_U Du \cdot D\tilde{v} \; dx = \int_U Du \cdot Dv \; dx = B[u,v] \]
也就是原问题有解。
5
解释怎么定义 具有 Robin 边界条件的 Poisson 方程
\[ \begin{cases} -\Delta u = f & \text{in } U \\ u + \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{ on } \partial U \end{cases} \]
\(u\in H^1(U)\)，的弱解。
给定 \(f\in L^2(U)\)，讨论存在唯一性。
solution
对于 \(u, v\in C^\infty(U)\) ，研究 \(Lu\) 与 \(v\) 的 \(L^2\) 内积，利用 Gauss-Green 公式，我们可以得到
\[ \begin{aligned} \int_U -\Delta u v \;dx &= \int_U Du \cdot Dv \; dx - \int_{\partial U} v \frac{\partial u}{\partial \nu} \; dS \quad (\text{by Gauss-Green}) \\ &= \int_U Du \cdot Dv \; dx + \int_{\partial U} uv \; dS \quad (u + \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \text{ on } \partial U ) \end{aligned}\]
那么我们可以定义弱解 \(u\in H^1(U)\) 为满足
\[ \int_U Du \cdot Dv \; dx + \int_{\partial U} Tu \; Tv \; dS = \int_U fv \; dx \quad \forall v\in H^1(U) \]
其中 \(T\) 是 迹算子
我们立即定义
\[ B[u,v] = \int_U Du \cdot Dv \; dx + \int_{\partial U} Tu \; Tv \; dS \quad u, v\in H^1(U) \]
我们验证 Lax-Milgram 定理的假设条件。
1
\[ \begin{aligned} |B[u,v]| &\le \int_U |Du| |Dv| \; dx + \int_{\partial U} |Tu| |Tv| \; dS \\ &\le \|Du\|_{L^2(U)} \|Dv\|_{L^2(U)} + \|Tu\|_{L^2(\partial U)} \|Tv\|_{L^2(\partial U)} \end{aligned} \]
但是我们有 \(\|Du\|_{L^2(U)} \le \|u\|_{H^1(U)}\)，以及迹定理
\[ \|Tu\|_{L^2(\partial U)} \le C(n, U) \|u\|_{H^1(U)} \quad \forall u\in H^1(U) \]
因此
\[ |B[u,v]| \le C(n, U) \|u\|_{H^1(U)} \|v\|_{H^1(U)} \]
2
\[ B[u, u] = \|Du\|_{L^2(U)}^2 + \|Tu\|_{L^2(\partial U)}^2 \]
我们只要能证明
\[ \|u\|_{H^1(U)} \le C(n, U) \left( \|Du\|_{L^2(U)} + \|Tu\|_{L^2(\partial U)} \right) \]
即可。
Lemma
设 \(U \subset \mathbb{R}^n\) 是有界开集，\(\partial U\) 是 \(C^1\) 光滑的。
那么存在 \(C=C(n, U)\) 使得
\[ \|u\|_{H^1(U)} \le C(n, U) \left( \|Du\|_{L^2(U)} + \|Tu\|_{L^2(\partial U)} \right) \quad \forall u\in H^1(U) \]
proof
否则，存在 \(u_k \in H^1(U), k=1, 2, ...\) 使得 \(\|u_k\|_{H^1(U)}=1\)，且
\[ \|Du_k\|_{L^2(U)} + \|Tu_k\|_{L^2(\partial U)} < \frac{1}{k} \]
由于 \(\|Du_k\|_{L^2(U)}\le \dfrac{1}{k}\)， 仿照 Poincaré 不等式的证明，存在子列，仍记为 \(u_k\) ，满足
\[ u_k \to u \text{ in } L^2(U) \quad Du = 0 \text{ a.e. } \]
我们就有
\[ \begin{aligned} \|u_k-u\|_{H^1(U)}^2 &= \|u_k-u\|_{L^2(U)}^2 + \|Du_k-Du\|_{L^2(U)}^2 \\ &= \|u_k-u\|_{L^2(U)}^2 + \|Du_k\|_{L^2(U)}^2 \\ &\to 0 \text{ as } k\to\infty \end{aligned} \]
因此我们得到 \(u_k \to u \text{ in } H^1(U)\).
所以
\[ \|u\|_{L^2(U)} = \|u\|_{H^1(U)} = \lim_{k\to\infty} \|u_k\|_{H^1(U)} = 1 \]
而 \(Du = 0 \text{ a.e.}\)，以及根据 引理 Corollary ， \(u\) 在每个连通分支上都几乎处处等以一个常数 \(u=c_\alpha \text{ a.e.}\)
但是根据 迹定理，以及 \(u_k \to u \text{ in } H^1(U)\)
\[ \begin{aligned} \|Tu\|_{L^2(\partial U)} &= \lim_{k\to\infty} \|Tu_k\|_{L^2(\partial U)} \to 0 \text{ as } k\to\infty \\ &\Rightarrow u=0 \text{ a.e. on } \partial U \end{aligned}\]
那么根据 迹零定理， \(u\in H_0^1(U)\)，但是由 Poincaré 不等式
\[ \|u\|_{L^2(U)} \le C(n, U) \|Du\|_{L^2(U)} = 0 \]
说明 \(u=0 \text{ a.e.}\) ，这与 \(\|u\|_{L^2(U)}=1\) 矛盾！
因此存在 \(C=C(n, U)\) 使得
\[ \|u\|_{H^1(U)} \le C(n, U) \left( \|Du\|_{L^2(U)} + \|Tu\|_{L^2(\partial U)} \right) \]
根据引理，我们得到存在 \(\beta>0\) 使得
\[ \beta \|u\|_{H^1(U)}^2 \le C(n, U) (\|Du\|_{L^2(U)}^2 + \|Tu\|_{L^2(\partial U)}^2 ) \]
现在，我们验证了 \(B[\;, \;]\) 满足 Lax-Milgram 条件，那么由 Lax-Milgram 定理，
对于 \(v\in H^1(U)\)，存在唯一的 \(u\in H^1(U)\) 使得
\[ B[u,v] = \int_U fv \; dx \]
即弱解存在。
6
假设 \(U\subset \mathbb{R}^n\) 是 有界连通开集， \(\partial U\) 光滑，且 \(\partial U = \Gamma_1\cup \Gamma_2\) 由两个不相交的闭集组成。
定义带 混合 Dirichlet - Neumann 边界条件的泊松方程
\[ \begin{cases} -\Delta u = f & \text{ in } U \\ u = 0 & \text{ on } \Gamma_1 \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{ on } \Gamma_2 \end{cases} \]
的弱解 \(u\) ，并讨论弱解的存在唯一性。
Try
一个边界的例子
对于 \(u, v\in C^\infty(U)\)，
\[ \begin{aligned} \int_U -\Delta u \; v \; dx &= -\int_{\partial U}\frac{\partial u}{\partial \nu} v \; dS + \int_U \nabla u \cdot \nabla v \; dx \\ &= \int_U \nabla u \cdot \nabla v \; dx - \int_{\Gamma_1 }\frac{\partial u}{\partial \nu} v \; dS - \int_{\Gamma_2 }\frac{\partial u}{\partial \nu} v \; dS \quad (\frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \text{ on } \Gamma_2) \\ &= \int_U \nabla u \cdot \nabla v \; dx - \int_{\Gamma_1 }\frac{\partial u}{\partial \nu} v \; dS \end{aligned} \]
我们发现，边界项怎么都处理不了。
回顾我们一开始 Dirichlet 边界条件的弱解，我们就 没处理过边界项，我们用 \(H_0^1\) 规避了。
当 \(\Gamma_1 = \varnothing\) ，退化到 Neuman 边界条件 question 4.
定义
\[ H_\sigma^1(U) = \overline{C_c^\infty(U\cup\Gamma_2)}_{H^1(U)} \]
显然这是\(H^1(U)\) 的闭子空间 ，是一个 Hilbert 空间。
若函数 \(u\in H_\sigma^1(U)\) 满足
\[ \int_U Du \cdot Dv \; dx = \int_U fv\; dx \quad \forall v \in H_\sigma^1(U) \]
我们称 \(u\) 是 Dirichlet-Neumann 边界问题的 弱解。
定义 \(H_\sigma^1(U)\) 中的双线性映射
\[ B[u,v] = \int_U Du \cdot Dv \; dx \quad u, v \in H_\sigma^1(U) \]
我们验证 Lax-Milgram 的假设条件：
1 .
\[ \begin{aligned} |B[u,v]| &\le \int_U |Du| |Dv| \; dx \le \|Du\|_{L^2} \|Dv\|_{L^2} \le \|u\|_{H_\sigma^1} \|v\|_{H_\sigma^1} \end{aligned} \]
2 .
\[ \begin{aligned} B[u,u] &= \|Du\|_{L^2(U)}^2 \\ \end{aligned} \]
Lemma
Poincaré 不等式
设 \(U\) 是有界连通开集，\(\partial U\) 是 \(C^1\) 的，且 \(\Gamma\subset \partial U \) 是边界的一个闭子集。
令 \(H_\sigma^1(U) = \overline{C_c^\infty(\bar{U}\setminus \Gamma)}_{H^1(U)}\)， 则存在常数 \(C=C(n, U)\) 满足
\[ \|u\|_{H_\sigma^1(U)} \le C(n, U) \|Du\|_{L^2(U)} \]
否则，存在 \(u_k\in H_\sigma^1(U)\) 满足
\[ \|u_k\|_{H_\sigma^1(U)} = 1 \quad \|Du_k\|_{L^2(U)} \le \frac{1}{k} \]
那么存在子列，仍记为 \(u_k\)，有
\[ u_k \to u \text{ in } L^2(U) \quad Du = 0 \text{ a.e. } \quad \|u\|_{H_\sigma^1(U)} = 1 \]
因此 \(u=c \text{ in } U\)。 但是，\(Tu = 0 \text{ on } \Gamma \)，所以 \(u=0 \text{ in } U\)，这与 \(\|u\|_{H_\sigma^1(U)}=1\) 矛盾。
因此，存在 \(C(n, U)\) 使得
\[ \|u\|_{H_\sigma^1(U)} \le C(n, U) \|Du\|_{L^2(U)} \]
由引理，存在 \(\beta>0\)，使得
\[ \beta \|u\|_{H_\sigma^1(U)}^2 \le \|Du\|_{L^2(U)}^2 \]
那么由 Lax-Milgram 定理，对于 \(f\in L^2(U)\)， 存在唯一的 \(u\in H_\sigma^1(U)\) 使得
\[ B[u, v] = (f, v) \quad \forall v \in H_\sigma^1(U) \]