Regularity 正则性¶
Problems¶
7
令具有紧支集的 \(u\in H^1(\mathbb{R}^n)\) 是半线性方程
\[ -\Delta u + c(u) = f \]
的弱解，其中 \(f\in L^2(\mathbb{R}^n)\)，\(c:R\to R\) 是光滑函数， 且 \(c(0)=0, c'(0)\ge 0\). 并且假设 \(c(u)\in L^2(\mathbb{R}^n)\)
证明 \(u\in H^2(\mathbb{R}^n)\). 以及
\[ \|D^2 u\|_{L^2} \le C \|f\|_{L^2} \]
proof
\(u\in H^1(\mathbb{R}^n)\) 是方程弱解，则满足
\[ \int_{\mathbb{R}^n} Du \cdot Dv + c(u) v \; dx = \int_{\mathbb{R}^n} fv\; dx \quad \forall v \in H^1(\mathbb{R}^n) \]
且 \(\text{supp}(u)\) 有界。
现在，对于某个 \(k\in \{1, ..., n\}\)，令
\[ v \triangleq -D_k^{-h}(D_k^h u) \]
带入弱解条件，有
\[ \int_{\mathbb{R}^n} -Du \cdot DD_k^{-h}D_k^h u - c(u) D_k^{-h}D_k^h u \; dx = \int_{\mathbb{R}^n} -f D_k^{-h}D_k^h u\; dx \]
由差分的 分部积分 公式，我们得到
\[ \begin{aligned} - \int_{\mathbb{R}^n} Du \cdot DD_k^{-h}D_k^h u &= \int_{\mathbb{R}^n} -Du \cdot D_k^{-h}D_k^h Du \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} D_k^h Du \cdot D_k^h Du \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} |D_k^h Du|^2 \end{aligned} \]
以及
\[ \begin{aligned} - \int_{\mathbb{R}^n} c(u) D_k^{-h}D_k^h u &= \int_{\mathbb{R}^n} D_k^{h}c(u) \; D_k^h u \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} c'(\xi_u) D_k^h u \; D_k^h u \\ & \ge 0 \end{aligned} \]
得到
\[ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n} |D_k^h Du|^2 &\le -\int_{\mathbb{R}^n} f D_k^{-h}D_k^h u\; dx \\ &\le \epsilon \int_{\mathbb{R}^n} |D_k^{-h} D_k^h u|^2 + \frac{1}{4\epsilon} \int_{\mathbb{R}^n} f^2 \end{aligned} \]
但是在 差商与弱导数 中我们得到
\[ \|D_k^{-h}(D_k^h u)\|_{L^2} \le C \| D(D_k^h u)\|_{L^2} = C \| D_k^h Du\|_{L^2} \]
其中常数 \(C=C(n)\) 与 \(u\) 的选取无关。
所以，我们有
\[ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n} |D_k^h Du|^2 & \le \epsilon \int_{\mathbb{R}^n} |D_k^{-h} D_k^h u|^2 + \frac{1}{4\epsilon} \int_{\mathbb{R}^n} f^2 \\ & \le \epsilon C \|D_k^h Du\|_{L^2}^2 + \frac{1}{4\epsilon} \|f\|_{L^2}^2 \end{aligned} \]
选择 \(\epsilon\) 足够小，\(\epsilon C = \frac{1}{2}\)，则有
\[ \|D_k^h Du\|_{L^2}^2 \le C \|f\|_{L^2}^2 \]
再次由 差商与弱导数 ，我们知道
\[ Du \in H^1(\mathbb{R}^n), \quad \| D^2 u\|_{L^2}^2 \le C \|f\|_{L^2}^2 \]
证毕。