Maximum Principles 极大值原理¶

Problems¶

8

设 \(U\) 是有界开集，\(\partial U\) 光滑。令 \(u\) 是一致椭圆方程

\[ Lu = -\sum_{i, j=1}^n a^{ij}(x) \partial_j \partial_i u = 0 \text{ in } U \]

的光滑解。假设 \(a^{ij}\) 的导数有界。

令 \(v \triangleq |Du|^2+\lambda u^2\)，证明如果 \(\lambda\) 足够大，则

\[ Lv \le 0 \text{ in } U \]

并得到

\[ \|Du\|_{L^\infty(U)} \le C( \|Du\|_{L^\infty(\partial U)} + \|u\|_{L^\infty(\partial U)} ) \]

proof

由于 \(Lu = 0\)，则

\[ \begin{aligned} 0 = -\nabla (Lu) = \sum_{i,j=1}^n \nabla a^{ij} \; \partial_j \partial_i u + a^{ij} \partial_j \partial_i \nabla u \\ \end{aligned} \]

对于

\[ v = \nabla u \cdot \nabla u + \lambda u^2 \]

考虑

\[ \begin{aligned} Lv &= - \sum_{i,j=1}^n a^{ij} \partial_j \partial_i (\nabla u \cdot \nabla u) - \lambda \sum_{i,j=1}^n a^{ij} \partial_j \partial_i u^2 \\ &= -2 \sum_{i,j=1}^n a^{ij} (\partial_j \nabla u \cdot \partial_i \nabla u + \nabla u \cdot \partial_j \partial_i \nabla u) - 2 \lambda \sum_{i,j=1}^n a^{ij} (\partial_j u \; \partial_i u + u \; \partial_j \partial_i u) \\ &= -2 \sum_{i,j=1}^n a^{ij} \partial_j \nabla u \cdot \partial_i \nabla u + 2 \sum_{i,j=1}^n \nabla u \cdot \nabla a^{ij} \; \partial_j \partial_i u - 2 \lambda (\nabla u)^T A \nabla u + 2\lambda u Lu \\ \end{aligned} \]

注意到，

1 . 由一致椭圆条件，

\[ \begin{aligned} \sum_{i,j=1}^n a^{ij} \partial_j \nabla u \cdot \partial_i \nabla u &= \sum_{i=1}^k \sum_{i,j=1}^n a^{ij} \partial_j (\partial_k u) \; \partial_i (\partial_k u) \\ &\ge \sum_{i=1}^k \theta |\nabla \partial_k u|^2 = \theta | \nabla^2 u |^2 \\ \end{aligned}\]

2 .

\[ \begin{aligned} \sum_{i,j=1}^n \nabla u \cdot \nabla a^{ij} \; \partial_j \partial_i u &\le \sum_{i,j=1}^n |\nabla a^{ij}| |\nabla u| \; \partial_j \partial_i u \\ &\le C(A) |\nabla u| \sum_{i,j=1}^n |\partial_j \partial_i u| \quad (a^{ij} \text{ has bounded derivatives}) \\ &\le C(A) |\nabla u| \; n |\nabla^2 u| \quad (\text{by Hölder inequality}) \\ \end{aligned} \]

3 . 由一致椭圆条件

\[ (\nabla u)^T A \nabla u \ge \theta |\nabla u|^2 \]

4 .

\[ uLu = 0 \]

因此，我们有

\[ \begin{aligned} Lv &\le -2 \theta |\nabla^2 u|^2 + 2 C(n,A) |\nabla u|\;|\nabla^2 u| - 2 \lambda \theta |\nabla u|^2 \\ &\le C(n,A)(\epsilon |\nabla^2 u|^2 + \frac{1}{\epsilon} |\nabla u|^2) - 2\theta |\nabla^2 u|^2 - 2\lambda \theta |\nabla u|^2 \\ &= (\epsilon C(n,A) - 2\theta) |\nabla^2 u|^2 + (\frac{C(n,A)}{\epsilon} - 2\lambda \theta) |\nabla u|^2 \\ \end{aligned} \]

我们可以令 \(2\theta = \epsilon C(n,A)\)，那么我们有

\[ Lv \le (\frac{C^2}{2\theta} - 2\lambda \theta)|\nabla u|^2 \]

则只要 \(\lambda > \frac{C^2}{4\theta^2}\)，就有 \(Lv \le 0\).

那么应用弱极大值原理，我们有

\[ \max_{\bar{U}} |Du|^2 \le \max_{\bar{U}} v \le \max_{\partial U} v \le \max_{\partial U} |Du|^2 + \max_{\partial U} \lambda |u|^2 \le C(n, A)(\max_{\partial U} |Du| + \max_{\partial U} |u|)^2 \]

因此

\[ \max_{\bar{U}} |Du| \le C(\max_{\partial U} |Du| + \max_{\partial U} |u|) \]

9

设 \(U\) 是有界开集，\(\partial U\) 光滑。假设 \(u\) 是一致椭圆方程

\[ \begin{cases} Lu = -\sum_{i, j=1}^n a^{ij}(x) \partial_j \partial_i u = f & \text{ in } U \\ u = 0 & \text{ on } \partial U \\ \end{cases} \]

的光滑解，\(f\) 有界。
固定 \(x^0\in \partial U\)，定义在 \(x^0\) 处的 势垒 barrier 为一个 \(C^2\) 函数 \(w\)，满足

\[ Lw \ge 1 \text{ in } U ,\quad w(x^0) = 0,\quad w \ge 0 \text{ on } \partial U \]

证明如果 \(w\) 是 \(x^0\) 处的势垒，则存在一个常数 \(C\) 使得

\[ |Du(x^0)| \le C \Big| \frac{\partial w}{\partial \nu}(x^0) \Big| \]

proof

根据弱极大值原理，以及 \(w \ge 0 \text{ on } \partial U \) ，我们有

\[ \min_{\bar{U}} w = \min_{\partial U} w = w(x^0) = 0 \]

令 \(v = u - \|f\|_{L^\infty(U)} w\)，那么我们有

\[ \begin{cases} Lv = Lu - \|f\|_{L^\infty(U)} L w \le f - \|f\|_{L^\infty(U)} 1 \le 0 & \text{ in } U \\ v \le 0 & \text{ on } \partial U \end{cases} \]

那么再次使用弱极大值原理，我们有

\[ \max_{\bar{U}} v = \max_{\partial U} v = v(x^0) = 0 \]

因此，有

\[ 0 \le \frac{\partial v}{\partial \nu}(x^0) = \frac{\partial u}{\partial \nu}(x^0) - \|f\|_{L^\infty(U)}\frac{\partial w}{\partial \nu}(x^0) \]

即

\[ \frac{\partial u}{\partial \nu}(x^0) \ge \|f\|_{L^\infty(U)}\frac{\partial w}{\partial \nu}(x^0) \]

同理，令 \(v = u + \|f\|_{L^\infty(U)} w\)，我们可以得到

\[ \frac{\partial u}{\partial \nu}(x^0) \le -\|f\|_{L^\infty(U)}\frac{\partial w}{\partial \nu}(x^0) \]

又因为 \(u=0 \text{ on } \partial U \)，边界光滑，因此 \(Du(x^0) = \dfrac{\partial u}{\partial \nu}(x^0) \)，我们得到

\[ |Du(x^0)| \le \|f\|_{L^\infty(U)} \Big| \frac{\partial w}{\partial \nu}(x^0) \Big| \]

10

假设 \(U\) 是连通有界开集，\(\partial U\) 光滑。
证明 Neumann 边界条件的调和方程

\[ \begin{cases} -\Delta u = 0 & \text{ in } U \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 & \text{ on } \partial U \\ \end{cases} \]

的光滑解只有一种 \(u \equiv C\)，\(C\) 是某个常数。

proof

(a)

由于 \(-\Delta u = 0\)，对于任意的 \(\forall v \in C^\infty(U)\)，我们有

\[ \begin{aligned} 0 &= -\int_U \Delta u \; v\;dx \\ &= -\int_{\partial U} \frac{\partial u}{\partial \nu} v \; dS + \int_U \nabla u \cdot \nabla v \; dx \quad (\text{by Green formula}) \\ &= \int_U \nabla u \cdot \nabla v \; dx \qquad \qquad\qquad (\frac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \text{ on } \partial U) \\ \end{aligned} \]

令 \(v=u\)，则有

\[ \int_U |\nabla u|^2 \; dx = 0 \Rightarrow \nabla u = 0 \text{ in } U \]

且 \(U\) 连通，因此，\(u \equiv C\).

(b)

因为 \(-\Delta u = 0\)，由强极大值原理，要么最大值点在 \(U\) 内部取得，则 \(u \equiv C\)；
要么最大值只能在边界取得 \(x^0\in \partial U\)，\(u(x^0)>u(x) \forall x \in U\)，则由 Hopf 引理，我们得到

\[ \frac{\partial u}{\partial \nu}(x^0) > 0 \]

矛盾。

所以只能是 \(u \equiv C\)。

11

假设 \(U\) 是有界开集，\(\partial U\) 光滑。 \(u\in H^1(U)\) 是方程

\[ -\sum_{i, j=1}^n \partial_j (a^{ij}(x) \partial_i u) = 0 \text{ in } U \]

的有界弱解。

令 \(\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 是光滑的 凸函数 ，设 \(w = \phi(u)\)。
证明 \(w\) 是 弱下解 subsolution ；即对于 \(\forall v\in H_0^1(U)，v≥0\)，有 \(B[w ,v]\le 0\).`

proof

由于 \(u\) 是弱解，因此有

\[ B[u, v] = \sum_{i, j=1}^n \int_U a^{ij}(x) \; D_i u \; D_j v \; dx = 0 \quad \forall v\in H_0^1(U) \]

根据 Chain Rule ， \(u\) 有界，则 \(\phi'(u)\) 有界我们有

\[ Dw = \phi'(u) Du \]

对于 \(v\in C_c^\infty(U)，v≥0\)，

\[ \begin{aligned} B[w, v] &= \sum_{i, j=1}^n \int_U a^{ij}(x) \; D_i w \; D_j v \; dx \\ &= \sum_{i, j=1}^n \int_U a^{ij}(x)\phi'(u) \; D_i u \; D_j v \; dx \\ &= \sum_{i, j=1}^n \int_U a^{ij}(x)D_i u \; D_j(\phi'(u) v)\; dx - \int_U a^{ij}(x)D_i u \; \phi''(u)D_j u \; v \; dx \quad (\text{Leibniz})\\ &= \sum_{i, j=1}^n 0- \int_U a^{ij}(x)D_i u \; \phi''(u)D_j u \; v \; dx \\ \end{aligned} \]

最后一步是由 Chain Rule， \(u\) 有界，则 \(\phi''(u)\) 有界，因此 \(\phi'(u)\in H^1(U), \phi'(u) v\in H_0^1(U)\)，推出 \(B[u, \phi'(u)v] = 0\).

\[ \begin{aligned} B[w, v] &= - \sum_{i, j=1}^n \int_U a^{ij}(x)D_i u \; \phi''(u)D_j u \; v \; dx \\ &= -\sum_{i, j=1}^n \int_U \phi''(u) a^{ij}(x)D_i u \; D_j u \; v \; dx \\ &\le - \int_U \phi''(u) \theta |Du|^2 \; v \; dx \le 0 \quad (\phi''(u) \ge 0, v \ge 0) \\ \end{aligned} \]

因此，对于 \(v\in C_c^\infty(U)，v≥0\)，\(B[w, v]\le 0\)。而对于 \(v\in H_0^1(U), v\ge 0\)，存在一列 \(v_k \in C_c^\infty(U)，v_k≥0\) 在 \(H^1(U)\) 中收敛到 \(v\)。
（ Evans 5.5 Traces Theorem 2 迹零定理的证明。）

1 . 存在 \(z_k\in C_c^\infty(U) \to v \text{ in } H^1(U)\)，
2 . 由于 \(v\ge 0\) ，能得到 \(z_k^+ \to v \text{ in } H^1(U)\) ，
3 . 利用 Problem 5.10.18，对于每个 \(k\) 可以选取足够小的 \(\epsilon_k\) ，使得

\[ v_k := F_{\epsilon_k}(z_k) = F_{\epsilon_k}(z_k^+) \in C_c^\infty(U) \to v \text{ in } H^1(U) \]

而且 \(v_k\ge 0\)，那么由控制收敛定理，有

\[ B[w, v] = \lim_{k\to \infty} B[w, v_k] \le 0 \]

因此，对于 \(\forall v\in H_0^1(U), v\ge 0\)，\(B[w, v]\le 0\)。