Eigvalues and Eigenfunctions
Problems
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柯朗极大值原理 Courant minimax principle
假设 \(U\) 是有界开集，\(\partial U\) 光滑。令
\[ Lu = \sum_{i, j=1}^n -\partial_j (a^{ij}(x) \partial_i u) \text{ in } U \]
其中 \(((a^{ij}))\) 对称，且一致椭圆。
假设 \(L\) 的特征根为 \(0<\lambda_1 < \lambda_2 \le \cdots \)，证明
\[ \lambda_k = \max_{S\in \Sigma_{k-1}} \min_{u\in S^{\bot},\|u\|_{L^2}=1} B[u,u] \quad (k=1,2,\cdots) \]
其中 \(\Sigma_{k-1}\) 是 \(H_0^1(U)\) 全体 \(k-1\) 维子空间构成的集合。
proof
设 \(\lambda_k\) 对应的特征函数 \(w_k\) 构成 \(L^2(U)\) 的一组标准正交基，
\[ \int_U w_k^2 = 1 \quad \text{and} \quad \int_U w_k w_l = 0 \quad \text{for} \quad k \ne l \]
并且 \(\phi_k := \dfrac{w_k}{\lambda_k^{1/2}}\) 是以内积 \(B[\;, \;]\) 诱导的 \(H_0^1(U)\) 的标准正交基。即
\[ B[\phi_k, \phi_k] = 1 \quad \text{and} \quad B[\phi_k, \phi_l] = 0 \quad \text{for} \quad k \ne l \]
并且 \(\phi_k\) 在 \(L^2(U)\) 中正交，\(\|\phi_k\|_{L^2(U)}=\dfrac{1}{\lambda_k}\).
"\(\ge\)":
对于任意 \(S\in \Sigma_{k-1}\)，不妨设他的一组基为 \(s_1, \cdots, s_{k-1}\)，
那么存在 \(\mu\in \mathbb{R}^{k} \neq \mathbf{0}\)， 使得 \(u = \sum_{i=1}^k \mu_i \phi_i \in S^{\bot}\)，即
\[ \mu^T \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \vdots \\ \phi_k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} s_1, \cdots, s_{k-1} \end{bmatrix} = 0 \]
有非零解。
不妨令 \(\|u\|_{L^2}=1\)，即
\[ 1 = \sum_{i=1}^k \mu_i^2 \|\phi_i\|_{L^2}^2 = \sum_{i=1}^k \frac{\mu_i^2}{\lambda_i} \]
那么
\[ B[u,u] = \sum_{i=1}^k \mu_i^2 \le \lambda_k \sum_{i=1}^k \frac{\mu_i^2}{\lambda_i} = \lambda_k \]
因此，对任意 \(S\in \Sigma_{k-1}\)，
\[ \min_{u\in S^{\bot},\|u\|_{L^2}=1} B[u,u] \ge \lambda_k \]
"\(\le\)":
令 \(S= \text{span}\{\phi_1, \cdots, \phi_{k-1}\}\)， 那么对于任意 \(u\in S^{\bot}\)，\((u, \phi_i) = 0, i=1, \cdots, k-1\)，
因此 \(u = \sum_{i\ge k} \mu_i \phi_i\)，这意味着
\[ B[u, u] = \sum_{i\ge k} \mu_i^2 \ge \lambda_k \sum_{i\ge k} \frac{\mu_i^2}{\lambda_i} = \lambda_k \|u\|_{L^2}^2 \]
当 \(u=w_k=\lambda^{1/2}\phi_k\) 时取等。
因此当 \(S= \text{span}\{\phi_1, \cdots, \phi_{k-1}\}\) 时
\[ \lambda_k = \min_{u\in S^{\bot},\|u\|_{L^2}=1} B[u,u] \]
综上，
\[ \lambda_k = \max_{S\in \Sigma_{k-1}} \min_{u\in S^{\bot},\|u\|_{L^2}=1} B[u,u] \]