Second-order Elliptic Equations 二阶椭圆方程¶
本章研究了在给定边界条件下，一致椭圆型二阶偏微分方程的可解性。 我们将使用两种本质上不同的技术，Sobolev空间内的能量方法和最大值原理方法。
definition 定义¶
设 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的 有界开集 ，\(u: \bar{U} \to \mathbb{R}\) 是未知函数。 这里 \(f:U \to \mathbb{R}\) 是给定函数。 我们研究边值问题。
\[ \begin{cases} Lu=f & \text{in } U \\ u=0 & \text{on } \partial U \end{cases} \]
其中 \(L\) 代表偏微分算子，具有下面的某一种形式。
散度形式 divergence form
\[ Lu = -\sum_{i,j=1}^n \partial_j(a^{ij}(x)\partial_i u) + \sum_{i=1}^n b^i(x) \partial_i u + c(x) u \]
或者 非散度形式 non-divergence form
\[ Lu = -\sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x)\partial^2_{ij} u + \sum_{i=1}^n b^i(x) \partial_i u + c(x) u \]
\(a^{ij}, b^i, c \;(i,j=1,2,...,n)\) 是给定的系数函数。
\(u=0 \text{ on } \partial U\) 又是称为 Dirichlet 边界条件。
此后，我们同样假设对称条件
\[ a^{ij}(x) = a^{ji}(x) \quad (i,j=1,2,...,n) \]
(Uniformly) Elliptic （一致）椭圆算子¶
如果偏微分算子满足下面条件，则称该算子是 一致椭圆算子 。
\[ \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x) \xi_i\xi_j \ge \theta |\xi|^2 \quad \text{for a.e.} x \in U, \forall \xi \in \mathbb{R}^n \]
因此，椭圆性意味着对于每一点 \(x \in U\)，对称的\(n \times n\) 矩阵 \(A (x) = ((a^{ij}(x)))\) 是正定的，其最小特征值大于等于\(\theta\)。