PDE 定义¶
Lawrence C.Evans Partial differential equations 1.1
令 \( k\ge 1 \)，\( U \) 是一个 \( R^n \) 中的 开集。 给定函数
\[ \begin{equation} F: R^{n^k} \times R^{n^{k-1}} \times \cdots \times R^n \times R \times U \to R \end{equation} \]
与未知函数
\[ u: U \to R \]
等式
\[ \begin{equation} F(D^ku(x), D^{k-1}u(x), ... , Du(x), u(x), x)=0 \quad (x\in U) \end{equation} \]
称为 \( k \) 阶偏微分方程。
按线性性分类¶
1 . 线性 linear：
\[ \sum_{|\alpha|\le k}a_\alpha(x) D^\alpha u = f(x) \]
2 . 半线性 semilinear：
\[ \sum_{ |\alpha|=k} a_\alpha(x) D^\alpha u + a_0(D^{k-1}u, ... , Du, u, x) = 0 \]
3 . 次线性 quasilinear:
\[ \sum_{ |\alpha|=k}a_\alpha(D^{k-1}u, ... , Du, u, x) D^\alpha u + a_0(D^{k-1}u, ... , Du, u, x) = 0 \]
4 . 非线性 nonlinear：非线性的依赖最高阶导。