偏微分方程简介
本章介绍各个偏微分方程的定义以及一些常用的结论。
准备符号
查看 Lawrence C.Evans Partial differential equations Appendix A
令多重指标(multiindex) \( \alpha=(\alpha_1, ... , \alpha_n), \quad \alpha_n \ge 0 \)，
\[ |\alpha| := \alpha_1 + ... + \alpha_n \]
\[ \alpha ! := \alpha_1!\cdots\alpha_n! \]
\[ \begin{pmatrix} |\alpha| \\ \alpha \end{pmatrix} := \frac{ |\alpha|!}{\alpha!} \]
对于多元变量 \( x=(x_1, ... , x_n) \)，
\[ x^\alpha := x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \]
\[ D^\alpha u(x) := \frac{\partial^{|\alpha|} u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}} = \frac{\partial^{\alpha_1} }{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}}u(x) \]
事实上，对于 \(u(x)\in C^k\)，\(\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_1x_2} = \frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_2 x_1} \)，微分顺序可交换。 因此在定义 \(D^k u(x)\) 的时候，将不同微分次序的前导数看成是同一个。
\[ D^k u(x) = \{ D^\alpha u(x) \mid |\alpha|=k \} \]
nabla算子
\[ \nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x_i}, ..., \frac{\partial u}{\partial x_n}) \]
Laplace算子
\[ \Delta u = \nabla\cdot\nabla u = \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} + ... + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2} \]
Problems
Question
2 . \( D^k u(x) \) 有几项？
Solution
观察上面 \(D^\alpha u(x)\) 的定义， 就是将 \(k\) 个苹果（偏导数\(\partial^k\)），放进 \(n\) 个盒子（\(\partial x_i, i=1, ..., n\)），允许空盒子。
那么显然有 \( \begin{pmatrix}n+k-1\\ k \end{pmatrix} \) 种放法。
Question
3 . 证明 多项式定理 (Multinomial Theorem)：
\[ (x_1 + ... + x_n)^k = \sum_{|\alpha|=k} \begin{pmatrix} |\alpha| \\ \alpha \end{pmatrix} x^\alpha \]
Proof
对于 \( x^\alpha = x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \) 的项，有多少种选法？
先从 \(k\) 个中选 \(\alpha_1\) 个 \(x_1\)， 再从 \(k-\alpha_1\) 个中选 \(\alpha_2\) 个 \(x_2\)，...，最后从 \(k-\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i\) 个中选 \(\alpha_n\) 个 \(x_n\)。
总共有
\[ \frac{k!}{\alpha_1! (k-\alpha_1)!} \frac{(k-\alpha_1)!}{\alpha_2! (k-\alpha_1-\alpha_2)!} \cdots \frac{(k-\alpha_1-\cdots-\alpha_{n-1})!}{\alpha_n! (k-\alpha_1-\cdots-\alpha_{n})!} = \frac{k!}{\alpha!} \]
种选法。
Question
4 . 证明 莱布尼兹公式 (Leibniz's Formula)：
\[ D^\alpha(uv) = \sum_{\beta\le\alpha}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} D^\beta u D^{\alpha-\beta}v \]
Prove
我们有 \( D^\alpha (uv) = \partial^{\alpha_1}_{x_1} \cdots \partial^{\alpha_n}_{x_n} (uv) \)，
而我们知道 \(\partial_i(uv) = (\partial_i u) v + u (\partial_i v) \)。 归纳得
\[ \partial_i^{\alpha_i}(uv) = \sum_{\beta_i=0}^{\alpha_i} \begin{pmatrix} \alpha_i \\ \beta_i \end{pmatrix} (\partial_i^{\alpha_i-\beta_i} u)(\partial_i^{\beta_i} v) \]
这也被称为问分法则的 莱布尼兹公式。
那么 \(D^\beta u D^{\alpha-\beta}v = \partial^{\beta_1}_{x_1} \cdots \partial^{\beta_n}_{x_n} u \cdot \partial^{\alpha_1-\beta_1}_{x_1} \cdots \partial^{\alpha_n-\beta_n}_{x_n} v \) 有多少种选法？
它有 \( \begin{pmatrix} \alpha_n \\ \beta_n \end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \beta_1 \end{pmatrix} = \frac{\alpha_1!\cdots\alpha_n!}{\beta_1!\cdots\beta_n! (\alpha_1-\beta_1)!\cdots (\alpha_n-\beta_n)!} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \) 种选法。
Question
5 . 设 \(f: R^n \to R\) 是光滑函数，证明
\[ f(x) = \sum_{|\alpha|\le k} \frac{1}{\alpha !} D^{\alpha} f(0) x^{\alpha} + O(\|x\|^{k+1}) \]
这称为多元函数的 Taylor 公式
Prove
固定 \(x\)，令 \(g(t) = f(tx)\)，那么由单变量的 Taylor 公式 （看 Cauchy），有
\[ \begin{align} g(t) &= \sum_{i=0}^k \frac{1}{i!} g^{(i)}(0) t^i + \int_0^t g^{(k+1)}(s)\frac{(t-s)^k}{k!} ds \\ &= \sum_{i=0}^k \frac{1}{i!} g^{(i)}(0) t^i + g^{(k+1)}(\xi) \frac{t^{k+1}}{(k+1)!}, \quad \xi \in [0, t] \\ \end{align} \]
则
\[ f(x) = g(1) = \sum_{i=0}^k \frac{1}{i!} g^{(i)}(0) + g^{(k+1)}(\xi) \frac{1}{(k+1)!}, \quad \xi \in [0, 1] \]
但
\[ \begin{gather} g'(t) =\frac{d f(tx)}{dt} = \nabla(f(tx)) \cdot x = \sum_{i=0}^n \partial_i f(tx) x_i \\ g''(t) =\frac{d}{dt}(\partial_i f(tx) x_i) = \sum_{i,j} \partial_{ij} f(tx) x_i x_j = \sum_{|\alpha|=2} \begin{pmatrix} 2 \\ \alpha \end{pmatrix} D^{\alpha} f(tx) x^{\alpha} \\ \cdots \\ g^{(k+1)}(t) = \frac{d^k}{dt^k} f(tx) = \sum_{i_1, \cdots, i_{k+1}} \partial_{i_1} \cdots \partial_{i_{k+1}} f(tx) x_{i_1} \cdots x_{i_{k+1}} = \sum_{|\alpha|=k+1} \begin{pmatrix} k+1 \\ \alpha \end{pmatrix} D^{\alpha} f(tx) x^{\alpha} \end{gather} \]
所以有
\[ \begin{align} f(x) &= \sum_{i=0}^k \frac{1}{i!} g^{(i)}(0) x^i + g^{(k+1)}(\xi) \frac{1}{(k+1)!} \\ &= \sum_{i=0}^k \frac{1}{i!} \sum_{|\alpha|=i} \begin{pmatrix} i \\ \alpha \end{pmatrix} D^{\alpha} f(0) x^{\alpha} + \frac{1}{(k+1)!}\sum_{|\alpha|=k+1} \begin{pmatrix} k+1 \\ \alpha \end{pmatrix} D^{\alpha} f(\xi x) x^{\alpha} \\ &= \sum_{|\alpha|\le k} \frac{1}{\alpha !} D^{\alpha} f(0) x^{\alpha} + \frac{1}{(k+1)!} \sum_{i_1, \cdots, i_{k+1}} \partial_{i_1} \cdots \partial_{i_{k+1}} f(\xi x) x_{i_1} \cdots x_{i_{k+1}} \\ \end{align} \]
由于 \(f\) 光滑，所以当 \(x\) 足够小时， 有 \(|\partial_{i_1} \cdots \partial_{i_{k+1}} f(\xi x)| < C(x, n), \quad \xi \in [0, 1]\)
而
\[ \frac{1}{(k+1)!} \sum_{i_1, \cdots, i_{k+1}} \partial_{i_1} \cdots \partial_{i_{k+1}} f(\xi x) x_{i_1} \cdots x_{i_{k+1}} < C(x, k+1)(|x_1|+\cdots+|x_n|)^{k+1} = O(\|x\|^{k+1}) \]
故当 \(x \to 0\)，有
\[ f(x) = \sum_{|\alpha|\le k} \frac{1}{\alpha !} D^{\alpha} f(0) x^{\alpha} + O(\|x\|^{k+1}) \]