行列式 Determinant¶

消元法解方程¶

我们从解方程组开始

\[ a_{1} x + b_{1} y = c_1 \\ a_{2} x + b_{2} y = c_2 \]

使用消元法，在非退化的情况下，我们可以得到

\[ x = \frac{c_1 b_{2} - c_2 b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} \]

\[ y = \frac{a_1 c_{2} - a_2 c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} \]

但是，我们从另一个角度来理解，并找到方程组的解。我们知道，方程组可以理解为向量组的线性组合。

\[ \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} y = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} \]

即

\[ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \frac{c_1 b_{2} - c_2 b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \frac{a_1 c_{2} - a_2 c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \]

这就是 克莱姆法则 (Grammer's Rule).

向量的角度¶

现在我们把他们看作向量，$\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}$. 我们要找到 $\vec{OC}$ 怎么用 $\vec{OA},\vec{OB}$ 表示。

我们考虑 A 和 B 的仿射组合。 t 越大越靠近 A 这边三角形面积的比例恰好是线段之间的比例

变换的角度¶

我们现在从线性变换的角度看问题 x 是绿色三角形与直角等腰三角形面积的比值，y 是红色的

\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} y \]

在非退化的情况下，线性变换不改变线段之间的比例。也不改变不同区域对应面积的比例。事实上，一个区域变换后的面积是变换前乘以一个固定的倍数，恰是两个基向量构成平行四边形的有向面积。而变换后三角形面积的比例正是变换前三角形面积的比例。

行列式的计算¶

现在我们从两个角度观察了方程解和面积的关系。我们很明确的意识到到，$a_1 b_{2} - a_2 b_{1}$ 是 $\triangle OAB$ 的 有向面积 的两倍。

我们创造一个符号来表示这个平行四边形的有向面积，叫做 行列式 ，或更一般的 外微分 。并且得到计算它的公式

\[ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 \]

事实上你遇见过多种证明他的方式，比如

或者根据定义

\[ 2S_{\triangle OAC} = OA \cdot OB \sin\angle AOB = OA\cdot OB \cos (\angle AOB-\frac{\pi}{2}) = \langle \vec{OA}, \vec{OB'} \rangle \]

你也许已经知道他是对的，但是一般的 $n$ 维空间中 $n$ 个向量组成的平行立方体的体积又该怎么计算呢？

根据体积的性质，我们能得到行列式必须具备的一些性质

我们规定 $|\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots, \mathbf{e}_n| = 1$
行列式关于任何一列的向量都是线性的， $$ |\mathbf{a}_1, \cdots, \lambda\mathbf{a}_i+\mu\mathbf{b}_i, \cdots, \mathbf{a}_n| = \lambda|\mathbf{a}_1 ,\cdots, \mathbf{a}_i, \cdots, \mathbf{a}_n| + \mu|\mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{b}_i, \cdots ,\mathbf{a}_n|$$
由祖暅原理， $$ |\mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{a}_i+\mathbf{a}_j, \cdots, \mathbf{a}_n| = |\mathbf{a}_1 ,\cdots, \mathbf{a}_i, \cdots, \mathbf{a}_n|, \quad j\ne i$$

从这三条可以推出计算公式。

由2,3，按线性规则将分量展开，消去为零的项。

\[ |\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_n| = \sum_{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} |\mathbf{e}_{\sigma(1)}, \mathbf{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \mathbf{e}_{\sigma(n)}| \]

$\sigma$ 表示从 $\{1, 2, \cdots, n\}$ 到自身的任何置换。

我们显然还能得到 $|\mathbf{a}_1, \cdots, \mathbf{0}, \cdots, \mathbf{a}_n|=0$ 以及最重要的

\[ |\cdots, \mathbf{a}_i, \cdots, \mathbf{a}_j, \cdots| \\ = |\cdots, \mathbf{a}_i+\mathbf{a}_j, \cdots, \mathbf{a}_j, \cdots| \\ = |\cdots, \mathbf{a}_i+\mathbf{a}_j, \cdots, \mathbf{a}_j-(\mathbf{a}_i+\mathbf{a}_j), \cdots| \\ = - |\cdots, \mathbf{a}_i+\mathbf{a}_j, \cdots, \mathbf{a}_i, \cdots| \\ = - |\cdots, \mathbf{a}_j, \cdots, \mathbf{a}_i, \cdots| \]

即交换两个向量的顺序则得到的有向体积符号正好相反，这样我们就获得了那么，求和式中每一项只差一个符号， $|\mathbf{e}_{\sigma(1)}, \mathbf{e}_{\sigma(2)}, \cdots, \mathbf{e}_{\sigma(n)}| = (-1)^{\tau(\sigma)}$，$\tau(\sigma)$ 是从顺序排序到 $\sigma$ 所需的对换次数。这也是自洽的。

因此有些教材会直接通过顺序对数来定义行列式。

回到最开始的方程 3 维自行推导

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非奇异矩阵的逆¶