分数阶微积分引入¶
Riemann-Liouville 分数阶积分¶
我们首先思考一下整数阶积分，我们都知道 Cauchy 积分公式
\[ \int_0^x \int_0^{x_1} \cdots \int_0^{x_{n-1}} f(x_n) dx_1 \cdots dx_{n} = \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t) dt \]
一般来说，大家都是用数学归纳法来证明这个定理的，但是我们有更直观的理解
实际上，如果你熟悉 卷积 ， 你会知道对 \(f\) 积分 就是 \(f * u\)，其中 \(u\) 是阶跃函数。 那么
\[ \begin{align} \int_0^x \int_0^{x_1} \cdots \int_0^{x_{n-1}} f(x_n) dx_1 \cdots dx_{n} &= (f(x)u(x)) * \overbrace{u * \cdots * u}^n \\ &= (f(x)u(x)) * \frac{x^{n-1}u(x)}{(n-1)!} \\ &= \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t) dt \end{align} \]
将 \(n\) 连续化， 我们得到
\[ _{RL}I^q f(t) = \frac{1}{\Gamma(q)} \int_0^t (t-s)^{q-1} f(s) ds \]
当然，如果你清楚的记得各个部分所表示的内容， 那么不妨记 \( \Gamma(q) = (q-1)! \)
那么 \(\Gamma(q)\) 又是怎么得出来的？
同样从 n 次积分公式出发，什么函数积分是不变的？
当然是指数函数 \(e^x\)，我们有
\[ \begin{align} e^x &= \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_{n-1}} e^{x_n} dx_1 \cdots dx_{n} \\ &= e^x * \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \\ &= \int_{-\infty}^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}e^t dt \end{align} \]
令 \(x=0\) 自然就有
\[ 1 = \int_{-\infty}^0 \frac{(-t)^{n-1}}{(n-1)!}e^t dt = \int_0^{\infty} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-t} dt \]
我们有理由相信上式可以连续化,即
\[ \Gamma(q) = \int_0^{\infty} t^{q-1} e^{-t} dt \]
而且，由于我们通过卷积来理解多重积分，那么由于卷积性质
\[ x_1(t)*x_2(t) \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} X_1(s)X_2(s) \]
我们天然期望从 频域 角度对它进行分析
而由于积分算子 \(u(t)\) 对应的 Laplace 变换是 \(\frac{1}{s}\)，我们很容易猜想
\[ \frac{t^{q-1}u(t)}{\Gamma(q)} \stackrel{\mathcal{L}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{s^q} \]
进而，对于 \(p>0, q>0\)
\[ \frac{t^{p-1}u(t)}{\Gamma(p)} * \frac{t^{q-1}u(t)}{\Gamma(q)} = \frac{t^{p+q-1}u(t)}{\Gamma(p+q)} \]
这也说明
\[ _{RL}I^q \frac{t^{p-1}}{\Gamma(p)} = \frac{t^{p+q-1}}{\Gamma(p+q)} \]
取 \(t=1\)，我们就得到了
\[ B(p, q) = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} = \int_0^1 t^{p-1}(1-t^{q-1}) dt \]
Riemann-Liouville 分数阶导数¶
我们能定义正的分数阶积分，但想要直接定义分数阶导数貌似有点困难。
Riemann-Liouville 的做法是先分数阶积分，再整数阶导数。 （相对应的 Caputo 选择先整数阶微分，再积分）。
对于 \(q>0\)，\(q\) 阶 Riemann-Liouville 微分为
\[ _{RL}D^q f(t) = D^n \circ {_{RL}I^{n-q}_{0, t}} f(t) = \frac{1}{\Gamma(n-q)} \frac{d^n}{dt^n}\int_0^t (t-s)^{n-q-1} f(s) ds, \quad n-1<q<n \]
而 Caputo 微分则是
\[ _{C}D^q f(t) = {_{RL}I^{n-q}_{0, t}} \circ D^n f(t) = \frac{1}{\Gamma(n-q)} \int_0^t (t-s)^{n-q-1} f^{(n)}(s) ds, \quad n-1<q<n \]
他们之间有什么关系呢？
由 Taylor 展开式，我们有
\[ f(t)=f(0) + \frac{f'(0)t}{1!} + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)t^{(n-1)}}{(n-1)!} + I^n f^{(n)}(t) \]
但是，我们发现
\[ _{RL}D^q \circ I^n f^{(n)}(t) = D^n \circ {_{RL}I^{n-q}_{0, t}} \circ I^n f^{(n)}(t) = {_{RL}I^{n-q}_{0, t}} f^{(n)}(t) \]
因此
\[ _{RL}D^q f(t) - _{C}D^q f(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)t^{k-q}}{\Gamma(k+1-q)} \]