线性多步法 Linear Multistep Methods¶
Finite Difference Methods 5.9, Chapter 6
考虑 IVP
\[ u'(t) = f(u(t), t) \]
分别对两边用有限差分替代
\[ \frac{\sum_{j=0}^r \alpha_j U^{n+j}}{k} = \sum_{j=0}^r \beta_j f(U^{n+j}, t_{n+j}) \]
就得到了 \(r\) 步 LMM 公式
\[ \sum_{j=0}^r \alpha_j U^{n+j} = k\sum_{j=0}^r \beta_j f(U^{n+j}, t_{n+j}) \]
\(U^{n+r}\) 由前面的 \(n-1\) 个 \( U^{n+r-1}, U^{n+r-2}, \cdots, U^{n} \) 和 \(f\) 在这些点处的值按等式获得。
相容性 (consistency)¶
计算原方程有限差分近似的局部截断误差，想要满足相容性，必须满足
\[ \sum_{j=0}^r \alpha_j = 0 \quad \text{and} \quad \sum_{j=0}^r j\alpha_j = \sum_{j=0}^r \beta_j \]
当然我们可以粗糙的的理解：\(\dfrac{U^{n+j}-U^{n}}{h}\) 近似看成 \(ju'\)
特征多项式 (Characteristic Polynomials)¶
\[ \rho(\zeta)=\sum_{j=0}^r \alpha_j \zeta^{j} \quad \text{and} \quad \sigma(\zeta)=\sum_{j=0}^r \beta_j \zeta^{j} \]
那么相容性条件就等价于
\[ \rho(1) = 0 \quad \text{and} \quad \rho'(1) = \sigma(1)\]