凸函数 Convex Function¶
函数 \(f：R^n→R\) 是 凸(convex) 的，如果 \(\text{dom} f\) 是凸集，且对所有的 \(x，y∈\text{dom} f\)，和 \(0≤θ≤1\) ，都有
\[ f(\theta x+(1-\theta y)) ≤ \theta f(x)+(1-\theta)f(y) \]
上境图 EpiGraph¶
\[ epi(f) = \{ (x, t) \in R^{n+1} | f(x) ≤ t \} \]
Theorem
\(f\) 是凸函数，当且仅当 \(epi(f)\) 是凸集。
下半连续函数 LSC¶
定义1：\(epi(f)\) 是闭集，则称 \(f\) 是下半连续函数。
定义2：对任意的 \(x\in \text{dom} f\)，和序列 \(\{y_n\}, \lim_{n→∞} y_n = x\)，有
\[ f(x) ≤ \liminf_{n→∞} f(y_n) \]
则称 \(f\) 是下半连续函数。
Note
这两种定义是等价的。
